Аналитическая геометрия

Вектор — направленный отрезок, характеризуемый длиной (модулем) и направлением. Два вектора равны, если они сонаправлены и равной длины — независимо от точки приложения (свободные векторы).

Декартовы координаты: вектор a = (a₁, a₂, a₃) задаётся проекциями на оси. Модуль |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²).

Сложение: a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃). Геометрически: правило параллелограмма или треугольника.

Умножение на скаляр: λa = (λa₁, λa₂, λa₃). При λ > 0 — сохраняет направление, при λ < 0 — меняет на противоположное.

Общее уравнение: Ax + By + Cz + D = 0. Вектор (A, B, C) — нормальный вектор n плоскости.

Нормальное уравнение: n·(r − r₀) = 0, где r₀ — точка плоскости, n — нормаль.

Через три точки: определитель 3×3, составленный из разностей с первой точкой, равен нулю.

Расстояние от точки M(x₀,y₀,z₀) до плоскости: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A²+B²+C²).

Определение: геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна = 2a.

Гиперболоиды: однополостный (x²/a²+y²/b²−z²/c²=1), двухполостный (x²/a²+y²/b²−z²/c²=−1).

Параболоиды: эллиптический (z=x²/a²+y²/b²), гиперболический (седло: z=x²/a²−y²/b²).

Сохраняет: прямолинейность, параллельность, отношения длин на параллельных прямых, площадь (с коэффициентом |det A|).

Группа аффинных преобразований плоскости: матрицы 3×3 вида [[A b]; [0 1]] (однородные координаты).

Приведение кривых второго порядка к каноническому виду: поворотом устраняем член xy (угол поворота из tan(2φ) = B/(A−C)).

Матрица квадратичной формы A = [[A, B/2],[B/2, C]]. Собственные значения λ₁, λ₂ — коэффициенты канонической формы λ₁x² + λ₂y². Тип кривой определяется знаками λ₁, λ₂.

Точка плоскости: (r, φ), r ≥ 0, φ ∈ [0, 2π). Связь с декартовыми: x = r cosφ, y = r sinφ.

Кривые: r = a (окружность), φ = α (луч), r = aφ (спираль Архимеда), r = a(1+cosφ) (кардиоида).

Конические сечения в полярных координатах: r = p/(1−e cosφ), где e — эксцентриситет. Единая формула для эллипса (e<1), параболы (e=1), гиперболы (e>1). Именно такую форму имеют орбиты планет — первый закон Кеплера.

Уравнение сферы: ρ = R. Применение в квантовой механике: сферические гармоники — волновые функции атома водорода в сферических координатах.

Классификация: поворотом и сдвигом координат приводим к канонической форме (используем собственные векторы квадратичной части).

Инварианты: I₁ = tr A (сумма собственных значений), I₂ = Σ 2×2 миноры, I₃ = det A — не зависят от выбора системы координат.

Гиперболоид однополостный — поверхность вращения гиперболы. Любая образующая — прямая (линейчатая поверхность). Используется в архитектуре (охладительные башни, Шуховская башня).

Стереографическая проекция отображает сферу на расширенную комплексную плоскость ℂ ∪ {∞}. Конформные автоморфизмы сферы — дробно-линейные преобразования.

Аполлоний Пергский (III в. до н.э.) систематически исследовал «конические сечения» — пересечения конуса с плоскостью. Зависимо от угла наклона плоскости получаем эллипс, параболу или гиперболу.

Два тысячелетия спустя Кеплер открыл: планеты движутся по эллипсам, кометы — по параболам или гиперболам. Так древняя геометрия оказалась законом природы.

Эллипс: луч, исходящий из одного фокуса, после отражения от эллипса проходит через другой фокус. Комнаты шёпота (эллиптические потолки), литотрипторы для дробления почечных камней — применения этого свойства.

Парабола: луч, параллельный оси, после отражения проходит через фокус. И наоборот: источник в фокусе даёт параллельный пучок. Параболические зеркала телескопов, прожекторов, антенн.

Формулы

Шаг 1: Найти собственные значения матрицы квадратичной части A_q = [[A, B/2],[B/2, C]]. Характеристический многочлен: λ² − (A+C)λ + (AC − B²/4) = 0.

Шаг 2: Поворотом (по собственным векторам) устранить член xy. Угол: tan 2φ = B/(A−C).

Шаг 3: Сдвигом координат (дополнение до полного квадрата) устранить линейные члены.

I₁ = A + C (след квадратичной части). I₂ = AC − B²/4 (детерминант квадратичной части). I₃ = |A B/2 D/2; B/2 C E/2; D/2 E/2 F| (полная матрица).

Кубические кривые: Ax³ + Bx²y + Cxy² + Dy³ + ... = 0. Примеры: кубика Декарта, лемниската Бернулли (r² = a²cos 2θ), строфоида.

Лемниската: (x²+y²)² = a²(x²−y²). Площадь S = a². Связь с эллиптическими интегралами: длина лемнискаты выражается через эллиптический интеграл первого рода — исторически это мотивировало теорию Гаусса.

Циклоида — решение задачи о брахистохроне (кратчайшее время спуска при гравитации): Иоганн Бернулли в 1696. Задача привела к развитию вариационного исчисления.

Поверхность линейчатая, если через каждую её точку проходит прямая, лежащая целиком на поверхности. Прямые называются образующими.

Цилиндры и конусы — очевидно линейчатые. Удивительнее: гиперболоид однополостный и гиперболический параболоид тоже.

Два семейства образующих: через каждую точку проходят две прямые из разных семейств. Каждые две образующие из одного семейства скрещиваются.

Конструктивное значение: гиперболические башни строятся из прямых стержней (экономия материала + жёсткость). Шуховская башня в Москве (1922) — первый пример.

Добавляем к ℝ³ «бесконечно удалённую плоскость»: ℝP³. Точки — ненулевые векторы (x:y:z:w) в однородных координатах (с точностью до масштаба).

Пересечение двух несовпадающих плоскостей — прямая. В проективной геометрии: любые две плоскости пересекаются (параллельные пересекаются на бесконечности).

Перспективная проекция — проективное преобразование. Камера пинхол проецирует 3D-сцену на матрицу (плоскость): (X,Y,Z) ↦ (fX/Z, fY/Z), f — фокусное расстояние.

Калиброврка камеры = нахождение параметров проективного преобразования. Это основа 3D-реконструкции и дополненной реальности.

{τ, ν, β} — репер Френе — правая ортонормированная тройка в каждой точке кривой.

Кручение: χ = −dβ/ds · ν — мера «выходания» кривой из оскулирующей плоскости (плоскости τ, ν).

Теорема: кривая определяется (с точностью до движения) парой функций κ(s) > 0 и χ(s) (натуральными уравнениями).

В 1872 году Феликс Клейн предложил революционный взгляд на геометрию: каждая геометрия определяется своей группой преобразований и изучает инварианты этой группы.

Движение = изометрия: преобразование, сохраняющее расстояния. В ℝ²: повороты, отражения, параллельные переносы.

Собственные движения (сохраняющие ориентацию): повороты и переносы. Образуют подгруппу. Несобственные (меняющие ориентацию): отражения и скользящие отражения.

Инвариантно при проективных преобразованиях. При специальных выборах: гармоническое деление (A,B;C,D) = −1.

Симплектическая форма на ℝ^{2n}: ω = Σᵢ dpᵢ ∧ dqᵢ — невырожденная кососимметричная билинейная форма.

Симплектическая геометрия изучает пространства с такой формой. Ключевое свойство: ω невырождена (det(матрицы формы) ≠ 0) и замкнута (dω = 0).

Фазовое пространство (p, q) механической системы — симплектическое пространство. Уравнения Гамильтона: q̇ᵢ = ∂H/∂pᵢ, ṗᵢ = −∂H/∂qᵢ — сохраняют симплектическую форму (теорема Лиувилля: объём в фазовом пространстве сохраняется).

Квантование: замена скобок Пуассона на коммутаторы операторов: [q̂, p̂] = iℏ — принцип неопределённости.

Ньютоновская механика предполагает евклидово пространство: абсолютное трёхмерное пространство, метрика которого не зависит от наблюдателя. Время абсолютно и независимо.

Расстояния и углы — физически значимые инварианты. Законы Ньютона инвариантны при преобразованиях Галилея: r' = r − vt, t' = t.

Инварианты: интервал ds² = const при преобразованиях Лоренца. Не сумма квадратов, а разность — гиперболическая метрика.

Евклидово расстояние заменяется лоренцевым «расстоянием». Геометрия пространства-времени — псевдоевклидова (сигнатура −+++ ).