Приведение к каноническому виду

Алгоритм для кривых второго порядка

Дано: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Шаг 1: Найти собственные значения матрицы квадратичной части A_q = [[A, B/2],[B/2, C]]. Характеристический многочлен: λ² − (A+C)λ + (AC − B²/4) = 0.

Шаг 2: Поворотом (по собственным векторам) устранить член xy. Угол: tan 2φ = B/(A−C).

Шаг 3: Сдвигом координат (дополнение до полного квадрата) устранить линейные члены.

Шаг 4: По знакам коэффициентов при квадратах определить тип.

Инварианты

I₁ = A + C (след квадратичной части). I₂ = AC − B²/4 (детерминант квадратичной части). I₃ = |A B/2 D/2; B/2 C E/2; D/2 E/2 F| (полная матрица).

Тип кривой полностью определяется знаками I₂, I₃ и I₁/I₃ при I₂ > 0.

Кривые в однородных координатах

В проективном пространстве все три типа невырожденных конических сечений проективно эквивалентны. Различие эллипса, параболы, гиперболы — в расположении относительно «бесконечно удалённой прямой» (прямая при z=0 в однородных координатах).

Применения в вычислительной геометрии

Определение пересечения луча с поверхностью второго порядка сводится к квадратному уравнению (алгоритмы трассировки лучей в компьютерной графике). Дискриминант определяет число точек пересечения.