Модуль V·Статья II·~1 мин чтения
Симплектическая геометрия и её приложения
Аффинные и проективные преобразования
Превратить статью в подкаст
Выберите голоса, формат и длину — AI запишет аудио
Введение в симплектическую геометрию
Симплектическая форма
Симплектическая форма на ℝ^{2n}: ω = Σᵢ dpᵢ ∧ dqᵢ — невырожденная кососимметричная билинейная форма.
Симплектическая геометрия изучает пространства с такой формой. Ключевое свойство: ω невырождена (det(матрицы формы) ≠ 0) и замкнута (dω = 0).
Гамильтонова механика
Фазовое пространство (p, q) механической системы — симплектическое пространство. Уравнения Гамильтона: q̇ᵢ = ∂H/∂pᵢ, ṗᵢ = −∂H/∂qᵢ — сохраняют симплектическую форму (теорема Лиувилля: объём в фазовом пространстве сохраняется).
Энергия H сохраняется вдоль траектории (если не зависит явно от времени).
Скобки Пуассона
{f, g} = Σᵢ (∂f/∂qᵢ ∂g/∂pᵢ − ∂f/∂pᵢ ∂g/∂qᵢ).
{qᵢ, pⱼ} = δᵢⱼ, {qᵢ, qⱼ} = {pᵢ, pⱼ} = 0 — канонические скобки Пуассона.
Квантование: замена скобок Пуассона на коммутаторы операторов: [q̂, p̂] = iℏ — принцип неопределённости.
Теорема Дарбу
На любом симплектическом многообразии существуют локальные координаты (p,q), в которых форма принимает стандартный вид. Симплектическая геометрия «локально тривиальна» — в отличие от римановой (где существенна кривизна).
Симплектические инварианты — глобальные. Теорема Громова о несжимаемости (1985): шар в фазовом пространстве нельзя вложить симплектоморфизмом в «узкий цилиндр».
§ Акт · что дальше