Аннуитеты и perpetuity

Стандартные денежные потоки Аннуитеты (серии равных платежей) и perpetuities (бесконечные потоки) — стандартные паттерны cash flows с простыми формулами расчёта. Они упрощают расчёты для кредитов, пенсий, оценки и многих финансовых инструментов. Ordinary Annuity Ordinary annuity: серия равных платежей в конце каждого периода. Наиболее распространённый тип (кредиты, облигации с fixed coupon). Present Value: PV = PMT × [(1 - (1+r)^(-n)) / r]. Где PMT — payment per period, r — ставка per period, n — число периодов. Future Value: FV = PMT × [((1+r)^n - 1) / r]. Накопленная сумма в конце n периодов. Пример: $100 в конце каждого года, 5 лет, 10%. PV = 100 × [(1 - 1.10^(-5)) / 0.10] = 100 × 3.791 = $379.08. Annuity Due Annuity due: платежи в начале каждого периода (rent, insurance premiums). Раньше на один период vs ordinary annuity. Adjustment: PV (annuity due) = PV (ordinary annuity) × (1+r). FV similarly adjusted. Платежи получены раньше — выше PV. Пример: те же $100, но в начале года. PV = 379.08 × 1.10 = $416.99. Разница — один год дополнительного compounding. Perpetuity Perpetuity: бесконечная серия равных платежей. Theoretical concept, но useful для approximating very long-lived streams. Present Value: PV = PMT / r. Простейшая формула — бесконечная геометрическая прогрессия. Пример: $100 ежегодно навсегда, 10% ставка. PV = 100 / 0.10 = $1,000. Check: $1,000 × 10% = $100 annual income, principal preserved. Application: preferred stock valuation (fixed dividend forever); real estate (stable rent stream); console bonds (perpetual bonds). Growing Perpetuity Когда платежи растут с постоянным темпом g: PV = PMT₁ / (r - g). Где PMT₁ — payment в конце первого периода, g — growth rate. Condition: g Gordon Growth Model: применение для stock valuation. P = D₁ / (r - g). Где D₁ — expected dividend next year, g — dividend growth rate. Пример: dividend $2 next year, growing 5% forever, required return 12%. P = 2 / (0.12 - 0.05) = $28.57. Growing Annuity Конечная серия растущих платежей. Формула более complex: PV = PMT₁ × [1 - ((1+g)/(1+r))^n] / (r - g). Application: зарплаты (растущие с инфляцией), graduated payment mortgages. Tip: можно рассчитать как разницу двух perpetuities с разным start date. Loan amortization Кредит с равными платежами — ordinary annuity. Зная PV (loan amount), r, n — найти PMT. PMT = PV × [r / (1 - (1+r)^(-n))]. Это payment необходимый для погашения loan с interest. Amortization schedule: каждый payment включает interest на remaining balance + principal repayment. Interest decreases, principal increases over time. Пример: mortgage $300,000, 30 years, 6%. Monthly rate = 0.5%, n = 360. PMT = 300000 × [0.005 / (1 - 1.005^(-360))] = $1,798.65. Applications в corporate finance Bond valuation: PV of coupon annuity + PV of principal at maturity = bond price. Lease analysis: PV of lease payments = present value of lease obligation. Project evaluation: many projects have annuity-like cash flows — constant revenue stream. Retirement planning: target retirement income как perpetuity, накопление через annuity contributions. Deferred annuities Annuity начинающийся не сразу, а через k периодов. First payment at end of period k+1. PV = [Standard Annuity PV] × (1+r)^(-k). Discount the annuity value back k additional periods. Пример: пенсионные планы — начало выплат через 20 лет работы. Calculator и spreadsheet tips Financial calculator keys: N (periods), I/Y (interest per period), PV, PMT, FV. Solve for one given others. Excel functions: PV, FV, PMT, NPER, RATE. Consistent sign convention: outflows negative, inflows positive. Common mistake: forgetting to adjust for payment timing (ordinary vs due). Check mode settings.