Общее равновесие и теоремы благосостояния

Равновесие на отдельном рынке — только часть картины. Изменение цены на один товар порождает волны по всем рынкам. Общее равновесие (GE) — теория, описывающая одновременное равновесие на всех рынках экономики. Две фундаментальные теоремы благосостояния связывают конкурентное равновесие с оптимальным распределением ресурсов.

Модель общего равновесия (Arrow-Debreu)

Экономика обмена: I потребителей, L товаров. Потребитель i имеет начальное запасы ωᵢ ∈ ℝᴸ₊ и предпочтения ≿ᵢ.

Конкурентное равновесие (Вальрасово): вектор цен p* и аллокации (x₁*,...,xᵢ*) такие, что:

Оптимальность: xᵢ* ≿ᵢ xᵢ для всех допустимых xᵢ при бюджете p*·xᵢ ≤ p*·ωᵢ
Рынки очищаются: Σᵢ xᵢ* = Σᵢ ωᵢ (спрос = предложение по всем товарам)

Закон Вальраса: Σₗ pₗ(Σᵢ xᵢₗ − ωᵢₗ) = 0 — суммарный избыточный спрос по стоимости всегда = 0. Следствие: если L−1 рынков в равновесии, L-й тоже в равновесии. Цены определены лишь с точностью до скаляра (нормировка: Σₗ pₗ = 1 или p₁ = 1).

Теорема существования (Arrow-Debreu, 1954): при выпуклых, непрерывных, монотонных предпочтениях конкурентное равновесие существует. Доказательство через теорему Какутани о неподвижной точке.

Две теоремы благосостояния

Парето-оптимальность: аллокация (xᵢ) Парето-оптимальна (PO), если нет другой допустимой аллокации, улучшающей хотя бы одного потребителя без ухудшения остальных.

Первая теорема благосостояния: Любое конкурентное равновесие является Парето-оптимальным.

Доказательство (набросок): предположим, что при p* равновесие (xᵢ*) не PO. Тогда существует аллокация (x'ᵢ): x'ᵢ ≻ᵢ xᵢ* для некоторого i, x'ᵢ ≿ᵢ xᵢ* для остальных. Из рационального поведения: x'ᵢ ≻ᵢ xᵢ* → p*·x'ᵢ > p*·xᵢ* (иначе потребитель i выбрал бы x'ᵢ). Суммируя по i: p*·Σx'ᵢ > p*·Σxᵢ* = p*·Σωᵢ. Противоречие с ресурсной допустимостью.

Вторая теорема: При выпуклых предпочтениях любое Парето-оптимальное распределение достигается как конкурентное равновесие после подходящего перераспределения начальных запасов.

Политический смысл: задачи эффективности (рынки) и справедливости (распределение) разделимы: сначала достичь желаемого распределения через lump-sum transfers, затем пустить рынки — они сами найдут PO-аллокацию.

Ящик Эджворта

Двухтоварная, двухагентная экономика: ω_A = (6, 2), ω_B = (2, 6). Конечный запас Ω = (8, 8).

В ящике Эджворта: горизонталь — товар 1 (0...8), вертикаль — товар 2 (0...8). Начальное распределение точка ω = (6, 2). Кривые безразличия A — обычные, B — повёрнутые на 180°. Область взаимовыгодной торговли = «линза» между кривыми безразличия через ω.

Контрактная кривая (Pareto set): множество PO-аллокаций — там, где кривые безразличия касаются (MRSA = MRSB). Для u_A = x₁x₂, u_B = x₁x₂: контрактная кривая — диагональ ящика x₁_A = x₂_A.

Провалы рынка

Первая теорема предполагает: нет внешних эффектов, нет общественных благ, полная информация, полный набор рынков. Нарушение любого из этих условий → провал рынка.

Отрицательные внешние эффекты: завод загрязняет реку — рыболовы несут издержки без компенсации. Социальные издержки > частных → перепроизводство. Решения: налог Пигу (= MSC − MPC), торговля квотами на выбросы (Coase).

Теорема Коуза (1960): при нулевых транзакционных издержках агенты сами придут к эффективному решению внешних эффектов через переговоры — независимо от начального распределения прав.

Численный пример

Два потребителя: u_A = x₁_A^{0.5} x₂_A^{0.5}, u_B = x₁_B^{0.5} x₂_B^{0.5}. Ω = (1, 1). Равновесные цены: p₁/p₂ = 1 (по симметрии). Равновесие: x₁_A* = x₂_A* = 0.5, x₁_B* = x₂_B* = 0.5. MRS_A = x₂_A/x₁_A = 1 = p₁/p₂ ✓. MRS_B = x₂_B/x₁_B = 1 = p₁/p₂ ✓. Оба потребителя на контрактной кривой (MRSA = MRSB = 1).

Задание: Экономика обмена: два потребителя A и B, два товара. ω_A=(4,1), ω_B=(2,3). u_A=min(x₁,x₂), u_B=x₁+x₂. (1) Найдите WE (конкурентное равновесие). (2) Нарисуйте ящик Эджворта. (3) Является ли WE Pareto-оптимальным? (4) Если перераспределить начальные запасы (ω'_A=(3,2), ω'_B=(3,2)) — как изменится равновесие? Это принцип второй теоремы?