Интегрируемость спроса и потребительский излишек

Наблюдаемый потребительский спрос должен быть согласован с рациональной максимизацией полезности. Теория интегрируемости отвечает: когда это выполнено? Потребительский излишек — ключевой инструмент благосостоятельного анализа изменений цен и политик. Правильное измерение благосостояния критично для оценки налоговых реформ, тарифов и субсидий.

Матрица Слуцкого и её свойства

Уравнение Слуцкого: Маршаллианский спрос xₗ(p,m) связан с хиксианским hₗ(p,u):

∂xₗ/∂pₖ = ∂hₗ/∂pₖ − xₖ · ∂xₗ/∂m

Расшифровка трёх компонентов: левая часть — наблюдаемое изменение маршаллианского спроса при росте pₖ. Первое слагаемое — «эффект замещения» (хиксианское изменение при фиксированной полезности, только price effect). Второе — «эффект дохода»: рост pₖ снижает реальный доход, что меняет спрос на xₗ через ∂xₗ/∂m.

Матрица Слуцкого S = (∂hₗ/∂pₖ): Симметрия: Sₗₖ = Sₖₗ (кросс-эффекты замещения симметричны — следует из леммы Шепарда для функции расходов). Отрицательная полуопределённость: xᵀSx ≤ 0 для всех x (собственные значения ≤ 0 — эффект замещения собственного товара отрицателен). pᵀS = 0 (нулевая однородность: масштабирование всех цен не меняет спрос).

Теорема интегрируемости: Функции xₗ(p,m) совместимы с рациональной максимизацией тогда и только тогда, когда матрица Слуцкого симметрична, отрицательно полуопределена и xₗ однородны нулевой степени по (p,m). Следствие: по рыночным данным о спросе можно тестировать рациональность.

Потребительский излишек

Маршаллианский излишек ΔCS = ∫_{p₁}^{p₀} x(p,m) dp при снижении цены p₀ → p₁. Геометрически — площадь под кривой спроса между ценами. Проблема: маршаллианский излишек — точная мера благосостояния лишь при нулевом эффекте дохода.

Компенсированные меры Хикса:

Вариация компенсации CV = e(p¹, u⁰) − m: сколько нужно изменить доход после ценовых изменений, чтобы вернуть к исходному благосостоянию u⁰. При снижении цены (выигрыше): CV > 0 — можно изъять CV из дохода и потребитель останется на прежнем уровне.

Эквивалентная вариация EV = m − e(p⁰, u¹): сколько нужно изменить доход при старых ценах, чтобы достичь нового уровня u¹. EV = готовность платить за изменение цен.

Соотношение при нормальном товаре: EV ≤ ΔCS ≤ CV при снижении цены. При квазилинейной полезности u = x₁ + v(x₂): нулевой эффект дохода → EV = ΔCS = CV — маршаллианский излишек точен.

Выявленные предпочтения

WARP (Samuelson, 1938): Если при (p⁰, m⁰) выбрано x⁰ и x¹ было доступно (p⁰·x¹ ≤ m⁰), то при (p¹, m¹) с p¹·x⁰ ≤ m¹: не должно быть выбрано x¹ (x⁰ уже был «отвергнут» в пользу x¹? — логическое противоречие). WARP — слабое требование транзитивности.

GARP (Varian, 1982): Более сильное циклическое условие. GARP ⟺ матрица Слуцкого симметрична при непрерывности. Тест Вариана — полиномиальный алгоритм за O(n³) для n наблюдений. Используется в labour supply studies: проверяют, совместимы ли данные о потреблении домохозяйств с GARP.

Нелинейный поиск выявленных предпочтений: нарушения GARP → нерациональность. Но: данные с шумом, дискретный выбор. Afriat (1973): всегда можно найти «почти рациональную» полезность, объясняющую наблюдения с минимальными нарушениями.

Численный пример

Линейный спрос на бензин: x = 100 − 5p, p₀ = 10 (базовая цена), p₁ = 8 (после субсидии). ΔCS (маршаллианский) = ∫₈¹⁰ (100−5p) dp = [100p − 2.5p²]₈¹⁰ = (1000 − 250) − (800 − 160) = 750 − 640 = 110 руб.

При квазилинейной полезности: EV = CV = ΔCS = 110. При нормальном товаре с эффектом дохода ∂x/∂m = 0.5: CV = 115, EV = 105, ΔCS = 110 (между ними).

Налог вместо субсидии: p₁ = 12. ΔCS = ∫_{10}^{12} (100−5p) dp = -(100·2 − 5·(144−100)/2) = -(200 − 110) = −90. Налоговые поступления = (12−10)·x(12) = 2·40 = 80. Налоговый сбой = DWL = 90 − 80 = 10.

Задание: Потребитель с u(x,y) = x²y, m = 120. Цена y: qₓ = 2, qᵧ = 3 → qᵧ' = 6. (1) Найдите маршаллианский ΔCS. (2) Вычислите CV и EV. (3) Сравните три меры — есть ли эффект дохода? (4) Проверьте WARP для двух наблюдений: при (qₓ=2,qᵧ=3,m=120) потребляет (30,20); при (qₓ=4,qᵧ=2,m=120) потребляет (20,20). Нарушен ли WARP?