Ценообразование активов и нет-арбитраж

Теория ценообразования активов объединяет микроэкономику оптимального межвременного выбора с математикой мартингалов. Фундаментальная теорема связывает отсутствие арбитража с существованием меры, под которой дисконтированные цены — мартингалы. Это основа всей современной финансовой инженерии.

Задача портфельного выбора Марковица

Постановка: n рискованных активов, ожидаемые доходности μ ∈ ℝⁿ, матрица ковариаций Σ. Задача минимизации риска при заданной ожидаемой доходности:

min_w wᵀΣw при wᵀμ ≥ μ₀, wᵀ1 = 1

Здесь w — вектор весов портфеля. Условия KKT дают: w* = λΣ⁻¹μ + γΣ⁻¹1, где λ, γ — множители Лагранжа. Эффективная граница — парабола в пространстве (σₚ, μₚ), σₚ = √(wᵀΣw).

Теорема двух фондов (Two Fund Theorem): Все эффективные портфели — линейные комбинации любых двух эффективных портфелей. Практически: строим границу, зная только две точки.

Тангенциальный портфель при безрисковом активе r_f: Максимизирует коэффициент Шарпа SR = (μₚ − r_f)/σₚ. Вес: T = Σ⁻¹(μ − r_f·1)/cᵀΣ⁻¹(μ − r_f·1). Линия рынка капитала (CML): μₚ = r_f + SR·σₚ (линейная, выше эффективной границы).

Диверсификация: При равновесном портфеле (n активов, σᵢ² = σ², корреляция ρ): σₑw² = σ²/n + ρσ²(1−1/n). При n→∞: σₑw² → ρσ². Несистематический риск исчезает, систематический (ρ-компонента) — нет.

CAPM

Равновесие при однородных ожиданиях: Все инвесторы держат T = рыночный портфель M. CAPM:

E[Rᵢ] = r_f + βᵢ(E[Rₘ] − r_f), βᵢ = Cov(Rᵢ, Rₘ)/Var(Rₘ)

Расшифровка: βᵢ — «систематический риск» актива i — насколько актив «движется вместе с рынком». E[Rₘ] − r_f — «рыночная премия за риск» (в среднем ≈ 6% годовых для США). Только систематический риск (β) компенсируется премией; идиосинкратический диверсифицируется.

SDF-вывод CAPM: Оптимальный потребительский план даёт: M = βu'(c₁)/u'(c₀) — стохастический дисконтирующий фактор. E[M·Rᵢ] = 1 для всех i. При квадратичной полезности: M линеен в Rₘ → CAPM.

Нет-арбитраж и меры мартингала

Арбитраж: стратегия с нулевой стоимостью сегодня и неотрицательным выплатами в будущем (с положительной вероятностью — строго положительным). Если арбитраж существует — рынок «сломан».

Фундаментальная теорема ценообразования: Нет арбитража ⟺ существует меры Q, эквивалентная P, такая, что дисконтированные цены — Q-мартингалы: E^Q[e^{−rT} Sₜ] = S₀. При полном рынке Q единственна.

Ценообразование деривата под мерой Q:

π₀(F) = E^Q[e^{−rT} F]

F — выплата дериватa при T. Ожидание под «риск-нейтральной» мерой Q, дисконтированное по безрисковой ставке r. Мера Q существует (нет арбитража), единственна (полный рынок).

Бинарная модель: S₀ = 100, S_u = 120 (рост), S_d = 80 (падение), r = 5%. Риск-нейтральная вероятность: q = (S₀(1+r) − S_d)/(S_u − S_d) = (105 − 80)/40 = 0.625. Колл с K = 110: C₀ = e^{−r}[q·max(120−110,0) + (1−q)·max(80−110,0)] = (1/1.05)[0.625·10 + 0.375·0] = 6.25/1.05 ≈ 5.95.

Численный пример

Три актива: μ = (10%, 15%, 12%), σ = (20%, 30%, 25%), ρ₁₂ = 0.4, ρ₁₃ = 0.2, ρ₂₃ = 0.3, r_f = 5%.

Матрица ковариаций Σ: σ₁₂ = 0.4·0.20·0.30 = 0.024, σ₁₃ = 0.01, σ₂₃ = 0.0225. Тангенциальный портфель (приблизительно): w ≈ (0.3, 0.5, 0.2). μ_T ≈ 13%, σ_T ≈ 22%. SR = (13−5)/22 ≈ 0.36.

Бета каждого актива: β₁ = Cov(R₁,Rₘ)/Var(Rₘ) ≈ 0.75, β₂ ≈ 1.4, β₃ ≈ 0.9. CAPM: E[R₁] = 5 + 0.75·8 = 11% (реальное 10% → немного ниже SML). E[R₂] = 5 + 1.4·8 = 16.2% (реальное 15% → ниже SML). Небольшие аномалии — нормальны для CAPM.

Задание: Двухпериодное бинарное дерево: S₀ = 100, каждый период u = 1.2, d = 0.9, r = 5%. Оцените европейский пут K = 105. (1) Вычислите q в каждом узле. (2) Найдите цену в каждом узле обратной индукцией. (3) Постройте реплицирующую стратегию (Δ, B) в каждом узле. (4) Проверьте: начальный портфель (Δ₀ акций + B₀ рублей) воспроизводит выплату пута.