Принципал-агент: стимулы, мониторинг, многозадачность

Теория принципал-агент изучает, как структурировать контракты при асимметричной информации об усилиях. Применения охватывают корпоративное управление (CEO–акционеры), страхование, регулирование, государственные закупки, здравоохранение. Холмстром и Милгром (Нобелевская премия 2016) заложили фундамент этой теории.

Базовая PA-модель (LEN-framework)

Структура: Принципал (нейтрален к риску, P-фирма) нанимает агента (неприятие риска r, коэффициент Эрроу-Пратта). Усилие e ∈ [0,∞) ненаблюдаемо. Выход: y = e + ε, ε ~ N(0, σ²). Линейный контракт: w(y) = α + β·y (фиксированная часть α + переменная β·y).

Оптимум при LEN:

Полезность агента: U = E[w] − (r/2)Var[w] − c(e) = α + βe − (rβ²σ²)/2 − e²/2

Условие оптимальности агента (IC): дифференцируя по e: e*(β) = β (при c(e) = e²/2).

Условие участия агента (IR): U ≥ 0 → α = (rβ²σ²)/2 − β²/2 + U₀.

Задача принципала: max_{α,β} E[y − w] = e*(β) − α − β·e*(β) = (1−β)·β − α. Подставляя IR: max_β β − β²/2 − rβ²σ²/2 = β − (1/2 + rσ²/2)β².

Оптимальный β:*

β* = 1/(1 + rσ²)

Расшифровка: r = 0 (риск-нейтральный агент) или σ² = 0 (нет риска): β* = 1 (первое лучшее — агент берёт весь результат). При росте r или σ²: β* снижается → стимулы слабее, агент больше защищён от риска. Компромисс: стимулы vs страхование.

Потеря эффективности: e*(β*) = β* = 1/(1+rσ²) < 1 = e*_FB. Информационная асимметрия создаёт неустранимую потерю.

Многозадачность (Holmstrom-Milgrom, 1991)

Расширенная модель: Агент решает K задач (e₁,...,e_K). Принципал измеряет только часть выходов. Контракт w = α + β₁y₁ (только по задаче 1).

Перекос усилий: Агент аллоцирует усилие так: e₁/e₂ = β₁/0 → при β₁ > 0: e₂ → 0. Чем выше β₁ — тем сильнее перекос от задачи 2 (неизмеримой).

Теорема многозадачности: Оптимальный β₁ ниже «одностороннего» оптимума, если задачи взаимосвязаны (complementary) или если задача 2 важна и ненаблюдаема.

Практические следствия:

Учителя на КПЭ по тестам → teaching to the test, игнорирование критического мышления
Менеджеры по квартальным продажам → пренебрежение R&D и репутацией
Врачи по числу пролеченных → избыточные процедуры, игнорирование хронических пациентов
Работники по одной метрике → все усилия туда (Goodhart's Law: «когда мера становится целью — она перестаёт быть хорошей мерой»)

Турниры (Lazear-Rosen, 1981)

Идея: Вместо абсолютного стимула — относительный ранг. Победитель получает W₁, проигравший — W₂ < W₁. Усилие каждого: e* = (W₁ − W₂) · f'(e* − e*) где f — плотность шума разницы. При симметричном шуме: e* определяется из 1 = (W₁ − W₂)·g(0) (g — плотность разницы шумов).

Преимущества: Устраняет общий шум (если оба агента испытывают одинаковый шок — он «вычитается» при сравнении). Не требует знания абсолютного уровня производства.

Проблемы: Стимулы к саботажу (снизить результат конкурента). «Сговор»: при малом числе участников — выгодно оба выбирают низкое усилие. Неэффективен при разнородных способностях.

Оптимальная структура турниров: Спорт: большой разрыв W₁ − W₂ нужен для компенсации высоких усилий и шума. Корпоративные «турниры»: зарплата CEO объясняется не маргинальной продуктивностью, а необходимостью стимулировать топ-менеджеров ниже уровня (Gabaix & Landier, 2008).

Численный пример

PA: r = 1, σ² = 2, c(e) = e²/2. β* = 1/(1+1·2) = 1/3. e* = 1/3. α* из IR: α + (1/3)² − (1·(1/3)²·2)/2 = 0 → α = −1/9 + 1/9 = 0 (при U₀ = 0). Принципал: E[y − w] = e* − α − βe = 1/3 − 0 − (1/3)² = 1/3 − 1/9 = 2/9. First-best (e_FB = 1): принципал получает 1 − 0 − 0 = 1. Потеря: 1 − 2/9 = 7/9 ≈ 78% из-за асимметрии при r=1, σ²=2.

При σ² = 0 (без шума): β* = 1, e* = 1, принципал получает 1 − 0 − 0 = 1. Первое лучшее! Асимметрия информации без риска не создаёт потерь.

Задание: Агент с r=1, σ²=2, c(e)=e²/2, принципал с U₀=0. (1) Найдите β*, e*, α*, прибыль принципала. (2) Вычислите потерю эффективности vs first-best. (3) Как изменится β* при σ²=4? Интерпретируйте. (4) Многозадачность: добавьте задачу 2 с e₂, β₂=0. Задача 1 весит w₁=0.6, задача 2 — w₂=0.4 в «истинной» полезности принципала. Агент аллоцирует e₁=β₁·w₁/(β₁+0), e₂=0. Найдите «цену» измерения только задачи 1.