Математика

Математический анализ: оптимизация

Производные, критические точки и прикладные максимумы — рабочая лошадка анализа.

1. 1. Единственный максимум

   лёгкая

   Найдите и классифицируйте критическую точку функции $f(x)=-2x^2+8x+3$.

   Показать решение

   $f^{\prime }(x)=-4x+8=0\Rightarrow x=2$.

   $f^{\prime \prime }(x)=-4<0$, значит $x=2$ — локальный максимум.

   $f(2)=-2(4)+16+3=11$. Максимальное значение равно $11$ при $x=2$.

2. 2. Две критические точки

   средняя

   Найдите и классифицируйте все критические точки функции $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$.

   Показать решение

   $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1,3$.

   $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$. При $x=1$: $f^{\prime \prime }(1)=-6<0$ → локальный максимум, $f(1)=5$. При $x=3$: $f^{\prime \prime }(3)=6>0$ → локальный минимум, $f(3)=1$.

3. 3. Максимизация выручки

   сложная

   Компания сталкивается со спросом $p=100-2q$. Выручка $R(q)=pq$. Найдите объём, максимизирующий выручку, и максимальную выручку.

   Показать решение

   $R(q)=(100-2q)q=100q-2q^2$.

   $R^{\prime }(q)=100-4q=0\Rightarrow q=25$.

   $R^{\prime \prime }(q)=-4<0$, что подтверждает максимум. Цена $p=100-2(25)=50$; максимальная выручка R = 50 \times 25 = \1{,}250$.

Углубиться

• Атлас: История математики →