Статистика

Вероятность: основы

Базовая вероятность, математическое ожидание и теорема Байеса — рассуждение в условиях неопределённости.

1. 1. Противоположные события

   лёгкая

   Бросают две правильные кости. Какова вероятность, что сумма не равна $7$?

   Показать решение

   Есть $36$ равновозможных исходов. Сумма $7$ достигается $6$ способами: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$, поэтому $P(7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

   По правилу дополнения $P(\text{не }7)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\approx 0,833$.

2. 2. Ожидание ставки

   средняя

   Игра стоит \5$.Вывыигрываете$$20$свероятностью$0{,}2$ и ничего в остальных случаях. Каково ожидаемое чистое значение и стоит ли играть?

   Показать решение

   Ожидаемый выигрыш: E[\text{выигрыш}] = 0{,}2 \times \20 + 0{,}8 \times $0 = $4$.

   За вычетом стоимости \5$:$E[\text{чистое}] = $4 - $5 = -$1$.

   Ожидаемое чистое значение -\1$ за игру, то есть в среднем вы проигрываете. Риск-нейтральному игроку играть не стоит.

3. 3. Теорема Байеса

   сложная

   Болезнь встречается у $1\%$ населения. Тест обладает чувствительностью $99\%$ (обнаруживает болезнь, если она есть) и специфичностью $95\%$ (верно отрицателен при отсутствии). Случайный человек получает положительный результат. Какова вероятность, что он действительно болен?

   Показать решение

   Пусть $D$ = болен. $P(D)=0,01$, $P(\text{пол}\mid D)=0,99$, $P(\text{пол}\mid \text{не }D)=0,05$.

   $P(\text{пол})=0,99\times 0,01+0,05\times 0,99=0,0099+0,0495=0,0594$.

   $P(D\mid \text{пол})=\frac{0,0099}{0,0594}\approx 0,167$.

   Лишь около 16,7% — несмотря на точный тест, положительный результат в основном отражает ложные срабатывания, потому что болезнь редка. Это ошибка базовой ставки.

Углубиться

• Атлас: Вероятность и статистика →
• Задачник: статистический вывод →