Векторы и операции над ними

Вектор как геометрический объект

Вектор — направленный отрезок, характеризуемый длиной (модулем) и направлением. Два вектора равны, если они сонаправлены и равной длины — независимо от точки приложения (свободные векторы).

Декартовы координаты: вектор a = (a₁, a₂, a₃) задаётся проекциями на оси. Модуль |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²).

Линейные операции

Сложение: a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃). Геометрически: правило параллелограмма или треугольника.

Умножение на скаляр: λa = (λa₁, λa₂, λa₃). При λ > 0 — сохраняет направление, при λ < 0 — меняет на противоположное.

Разложение по базису: a = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃, где e₁, e₂, e₃ — орты координатных осей.

Скалярное произведение

(a, b) = a·b = |a||b|cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, где θ — угол между векторами.

Свойства: симметричность, билинейность, (a,a) = |a|² ≥ 0.

Ортогональность: a ⊥ b ⟺ a·b = 0.

Проекция b на a: pr_a b = (a·b)/|a|.

Применение: работа W = F·s = |F||s|cos θ. Физические приложения скалярного произведения — повсюду.

Векторное произведение

a × b — вектор, перпендикулярный a и b, длиной |a||b|sin θ, направленным по правилу правой руки.

Вычисление через определитель: a × b = |e₁ e₂ e₃; a₁ a₂ a₃; b₁ b₂ b₃| = (a₂b₃−a₃b₂)e₁ − (a₁b₃−a₃b₁)e₂ + (a₁b₂−a₂b₁)e₃.

Антикоммутативность: b × a = −a × b.

Площадь параллелограмма: S = |a × b|.

Применение: момент силы M = r × F, магнитная сила F = qv × B (формула Лоренца).

Смешанное произведение

(a, b, c) = a·(b × c) = |a₁ a₂ a₃; b₁ b₂ b₃; c₁ c₂ c₃|.

Объём параллелепипеда: V = |(a, b, c)|.

Компланарность: (a, b, c) = 0 ⟺ a, b, c лежат в одной плоскости.

Свойство: (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) — инвариантно при циклических перестановках.