Прямая и плоскость в пространстве

Уравнения плоскости

Общее уравнение: Ax + By + Cz + D = 0. Вектор (A, B, C) — нормальный вектор n плоскости.

Нормальное уравнение: n·(r − r₀) = 0, где r₀ — точка плоскости, n — нормаль.

Через три точки: определитель 3×3, составленный из разностей с первой точкой, равен нулю.

Расстояние от точки M(x₀,y₀,z₀) до плоскости: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A²+B²+C²).

Угол между плоскостями: cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|).

Уравнения прямой

Параметрическое: r = r₀ + t·l, или x = x₀+lt, y = y₀+mt, z = z₀+nt (l = (l,m,n) — направляющий вектор).

Симметрическое: (x−x₀)/l = (y−y₀)/m = (z−z₀)/n.

Как пересечение двух плоскостей: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Взаимное расположение

Прямые: пересекаются (коplanарны, разные направления), параллельны (коplanарны, одно направление), скрещиваются (не копlanарны).

Расстояние между скрещивающимися прямыми: d = |(r₂−r₁)·(l₁×l₂)| / |l₁×l₂|.

Прямая и плоскость: параллельна (l⊥n и точка не лежит), лежит (l⊥n и точка лежит), пересекает. Угол: sin φ = |l·n|/(|l||n|).