Кривые второго порядка

Общее уравнение

Кривая второго порядка на плоскости: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Дискриминант Δ = B² − 4AC определяет тип:

• Δ < 0 → эллипс (или точка, пустое множество)
• Δ = 0 → парабола (или вырожденный случай)
• Δ > 0 → гипербола (или пара прямых)

Эллипс

Каноническое уравнение: x²/a² + y²/b² = 1 (a ≥ b > 0).

a — большая полуось, b — малая. Фокусы: F₁(−c, 0), F₂(c, 0), c² = a² − b².

Определение: геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна = 2a.

Эксцентриситет e = c/a ∈ [0, 1). При e = 0 — окружность.

Гипербола

x²/a² − y²/b² = 1. Фокусы: F₁(−c, 0), F₂(c, 0), c² = a² + b².

Определение: |r₁ − r₂| = 2a. Асимптоты: y = ±(b/a)x.

Прямоугольная гипербола (a=b): xy = k — её уравнение в повёрнутых осях.

Парабола

y² = 2px (p > 0). Фокус F(p/2, 0), директриса x = −p/2.

Определение: расстояние до фокуса = расстоянию до директрисы.

Параболические антенны и зеркала: параллельные лучи собираются в фокусе.

Поверхности второго порядка

Эллипсоид: x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1.

Гиперболоиды: однополостный (x²/a²+y²/b²−z²/c²=1), двухполостный (x²/a²+y²/b²−z²/c²=−1).

Параболоиды: эллиптический (z=x²/a²+y²/b²), гиперболический (седло: z=x²/a²−y²/b²).

Конус: x²/a²+y²/b²−z²/c²=0.