Системы координат и преобразования

Аффинные преобразования

Аффинное преобразование: r' = Ar + b (A — невырожденная матрица, b — вектор).

Сохраняет: прямолинейность, параллельность, отношения длин на параллельных прямых, площадь (с коэффициентом |det A|).

Примеры: параллельный перенос, поворот, масштабирование, сдвиг, отражение.

Группа аффинных преобразований плоскости: матрицы 3×3 вида [[A b]; [0 1]] (однородные координаты).

Поворот координат

При повороте осей на угол φ: x = x'cosφ − y'sinφ, y = x'sinφ + y'cosφ.

Приведение кривых второго порядка к каноническому виду: поворотом устраняем член xy (угол поворота из tan(2φ) = B/(A−C)).

Собственные числа и геометрия

Матрица квадратичной формы A = [[A, B/2],[B/2, C]]. Собственные значения λ₁, λ₂ — коэффициенты канонической формы λ₁x² + λ₂y². Тип кривой определяется знаками λ₁, λ₂.

Проективные преобразования

Проективное преобразование: r' ~ Pr (P — невырожденная 3×3 матрица в однородных координатах).

Инварианты: перекрёстное отношение четырёх точек на прямой. В компьютерном зрении: перспективные преобразования — проективные.