Криволинейные системы координат

Полярные координаты

Точка плоскости: (r, φ), r ≥ 0, φ ∈ [0, 2π). Связь с декартовыми: x = r cosφ, y = r sinφ.

Кривые: r = a (окружность), φ = α (луч), r = aφ (спираль Архимеда), r = a(1+cosφ) (кардиоида).

Площадь в полярных координатах: S = (1/2)∫_{φ₁}^{φ₂} r²(φ) dφ.

Конические сечения в полярных координатах: r = p/(1−e cosφ), где e — эксцентриситет. Единая формула для эллипса (e<1), параболы (e=1), гиперболы (e>1). Именно такую форму имеют орбиты планет — первый закон Кеплера.

Цилиндрические координаты

(r, φ, z): x = r cosφ, y = r sinφ, z = z. Якобиан = r.

Уравнение цилиндра вокруг оси z: r = R.

Сферические координаты

(ρ, θ, φ): x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. Якобиан = ρ² sinθ.

Уравнение сферы: ρ = R. Применение в квантовой механике: сферические гармоники — волновые функции атома водорода в сферических координатах.

Эллиптические координаты

Применяются при решении уравнений в областях, ограниченных эллипсами и гиперболами. Разделение переменных в уравнении Лапласа.