Классификация поверхностей второго порядка

Общая теория

Поверхность второго порядка в ℝ³: Σᵢⱼ aᵢⱼxᵢxⱼ + Σᵢ bᵢxᵢ + c = 0 (aᵢⱼ = aⱼᵢ).

Классификация: поворотом и сдвигом координат приводим к канонической форме (используем собственные векторы квадратичной части).

Инварианты: I₁ = tr A (сумма собственных значений), I₂ = Σ 2×2 миноры, I₃ = det A — не зависят от выбора системы координат.

Поверхности вращения

Вращение кривой f(x, z) = 0 вокруг оси z: f(√(x²+y²), z) = 0.

Гиперболоид однополостный — поверхность вращения гиперболы. Любая образующая — прямая (линейчатая поверхность). Используется в архитектуре (охладительные башни, Шуховская башня).

Связь с комплексными числами

Стереографическая проекция отображает сферу на расширенную комплексную плоскость ℂ ∪ {∞}. Конформные автоморфизмы сферы — дробно-линейные преобразования.

Четыри большие класса

Невырожденные: эллипсоиды, гиперболоиды (одно/двухполостные), параболоиды (эллиптические/гиперболические), конусы.

Цилиндры: эллиптические, гиперболические, параболические.

Вырожденные: плоскости, прямые, точка, пустое множество.

Полная классификация насчитывает 17 типов, различаемых рангом квадратичной части и расширенной матрицы.