Фокальные свойства конических сечений

Конические сечения Аполлония

Аполлоний Пергский (III в. до н.э.) систематически исследовал «конические сечения» — пересечения конуса с плоскостью. Зависимо от угла наклона плоскости получаем эллипс, параболу или гиперболу.

Два тысячелетия спустя Кеплер открыл: планеты движутся по эллипсам, кометы — по параболам или гиперболам. Так древняя геометрия оказалась законом природы.

Отражательные свойства

Эллипс: луч, исходящий из одного фокуса, после отражения от эллипса проходит через другой фокус. Комнаты шёпота (эллиптические потолки), литотрипторы для дробления почечных камней — применения этого свойства.

Парабола: луч, параллельный оси, после отражения проходит через фокус. И наоборот: источник в фокусе даёт параллельный пучок. Параболические зеркала телескопов, прожекторов, антенн.

Гипербола: луч, направленный к одному фокусу, после отражения кажется исходящим из другого. Применяется в системах навигации LORAN.

Директриссное определение

Эксцентриситет e = c/a. Кривая второго порядка — ГМТ, отношение расстояний до фокуса и директриссы = e.

e < 1 → эллипс, e = 1 → парабола, e > 1 → гипербола.

Параметрические уравнения

Эллипс: x = a cosт, y = b sinт. Гипербола: x = a chт, y = b shт (гиперболические функции). Парабола: x = t², y = 2pt.

Параметрическая форма удобна для вычисления длин и площадей, а также для описания траекторий.