Модуль IV·Статья I·~1 мин чтения
Линейчатые поверхности и их свойства
Поверхности второго порядка
Превратить статью в подкаст
Выберите голоса, формат и длину — AI запишет аудио
Линейчатые поверхности
Линейчатые поверхности
Поверхность линейчатая, если через каждую её точку проходит прямая, лежащая целиком на поверхности. Прямые называются образующими.
Цилиндры и конусы — очевидно линейчатые. Удивительнее: гиперболоид однополостный и гиперболический параболоид тоже.
Гиперболоид однополостный
x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1.
Два семейства образующих: через каждую точку проходят две прямые из разных семейств. Каждые две образующие из одного семейства скрещиваются.
Конструктивное значение: гиперболические башни строятся из прямых стержней (экономия материала + жёсткость). Шуховская башня в Москве (1922) — первый пример.
Гиперболический параболоид (седло)
z/c = x²/a² − y²/b² (часто в виде z = xy).
Два семейства прямых образующих. Поверхность «выпукла» в одном направлении и «вогнута» в другом.
Применение в архитектуре: гиперболический параболоид можно строить из прямых балок. «Тонкие оболочки» в архитектуре XX века (Феликс Кандела).
Поверхности вращения
При вращении кривой f(y, z) = 0 вокруг оси z: заменяем y на √(x²+y²).
Тор: вращение окружности (y−R)² + z² = r² вокруг оси z: (√(x²+y²)−R)² + z² = r².
Тор в топологии: произведение двух окружностей S¹ × S¹. Фундаментальная группа: ℤ × ℤ.
§ Акт · что дальше