Модуль IV·Статья II·~1 мин чтения
Аффинные и проективные преобразования в пространстве
Поверхности второго порядка
Превратить статью в подкаст
Выберите голоса, формат и длину — AI запишет аудио
Проективная геометрия в пространстве
Проективное пространство
Добавляем к ℝ³ «бесконечно удалённую плоскость»: ℝP³. Точки — ненулевые векторы (x:y:z:w) в однородных координатах (с точностью до масштаба).
Пересечение двух несовпадающих плоскостей — прямая. В проективной геометрии: любые две плоскости пересекаются (параллельные пересекаются на бесконечности).
Проекция и перспектива
Перспективная проекция — проективное преобразование. Камера пинхол проецирует 3D-сцену на матрицу (плоскость): (X,Y,Z) ↦ (fX/Z, fY/Z), f — фокусное расстояние.
В однородных координатах: матрица камеры 3×4 (K[R|t]).
Калиброврка камеры = нахождение параметров проективного преобразования. Это основа 3D-реконструкции и дополненной реальности.
Теорема Дезарга
Два треугольника перспективны из точки (соответствующие вершины соединяются прямыми, проходящими через одну точку) тогда и только тогда, когда они перспективны из прямой (пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой).
Это чисто проективный результат — не использует расстояний и углов.
Двойственность
В проективной плоскости: «точка» и «прямая» двойственны. Теорема остаётся верной, если поменять «точку» и «прямую» местами. Теорема Дезарга самодвойственна.
В ℝP³: двойственны «точка» и «плоскость».
§ Акт · что дальше