Дифференциальная геометрия кривых в пространстве

Дифференциальная геометрия кривых

Параметрические кривые

Кривая в ℝ³: r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a,b].

Длина дуги: s = ∫_{a}^{b} |r'(t)| dt = ∫ √(x'²+y'²+z'²) dt.

Натуральный параметр: параметризация длиной дуги s. Тогда |r'(s)| = 1.

Репер Френе

Тангенциальный вектор: τ = dr/ds.

Кривизна: κ = |dτ/ds| — мера изменения направления касательной.

Нормальный вектор: ν = (dτ/ds)/κ.

Бинормальный вектор: β = τ × ν.

{τ, ν, β} — репер Френе — правая ортонормированная тройка в каждой точке кривой.

Кручение: χ = −dβ/ds · ν — мера «выходания» кривой из оскулирующей плоскости (плоскости τ, ν).

Формулы Френе

dτ/ds = κν, dν/ds = −κτ + χβ, dβ/ds = −χν.

Теорема: кривая определяется (с точностью до движения) парой функций κ(s) > 0 и χ(s) (натуральными уравнениями).

Примеры

Окружность: κ = 1/R = const, χ = 0. Плоская кривая ⟺ χ = 0.

Винтовая линия (спираль): κ и χ постоянны. x = R cos t, y = R sin t, z = pt. Κ = R/(R²+p²), χ = p/(R²+p²).