Модуль V·Статья I·~1 мин чтения
Группы преобразований и их инварианты
Аффинные и проективные преобразования
Превратить статью в подкаст
Выберите голоса, формат и длину — AI запишет аудио
Группы преобразований
Программа Эрлангена Клейна
В 1872 году Феликс Клейн предложил революционный взгляд на геометрию: каждая геометрия определяется своей группой преобразований и изучает инварианты этой группы.
- Евклидова геометрия: группа движений (изометрий). Инварианты: расстояние, угол, площадь.
- Аффинная геометрия: группа аффинных преобразований. Инварианты: параллельность, отношение длин на параллельных прямых, площадь (до масштаба).
- Проективная геометрия: группа проективных преобразований. Инварианты: коллинеарность, перекрёстное отношение.
- Топология: группа гомеоморфизмов. Инварианты: связность, компактность, число дыр.
Группа движений
Движение = изометрия: преобразование, сохраняющее расстояния. В ℝ²: повороты, отражения, параллельные переносы.
Собственные движения (сохраняющие ориентацию): повороты и переносы. Образуют подгруппу. Несобственные (меняющие ориентацию): отражения и скользящие отражения.
Перекрёстное отношение
Для четырёх точек A, B, C, D на прямой: (A,B;C,D) = (AC/BC)/(AD/BD).
Инвариантно при проективных преобразованиях. При специальных выборах: гармоническое деление (A,B;C,D) = −1.
Однородные координаты
В ℝⁿ используем ℝP^n с однородными координатами (x₀:x₁:...:xₙ). Аффинное пространство: гиперплоскость x₀=1.
Преобразования: линейные над однородными координатами → проективные в аффинном пространстве.
Параллельные прямые пересекаются в точке x₀=0 (на «бесконечности»). Перспектива = проективное преобразование.
§ Акт · что дальше