Вариационное исчисление

Определения

Функционал

— отображение из пространства функций в ℝ: J: {y : [a,b] → ℝ} → ℝ.

Первая вариация

— δJ[y*; η] = d/dε|_{ε=0} J[y* + εη]

Основная лемма

— если непрерывная g такова, что ∫g(x)η(x)dx = 0 для всех гладких η с нулевыми концами, то g ≡ 0.

Уравнение Эйлера-Лагранжа

— Fᵧ − d/dx(F_{y'}) = 0

Задача

— найти кратчайшую кривую в ℝ² между точками A = (0, 0) и B = (1, 1).

Интегрируем

— y'/√(1+y'²) = C (константа). Решаем: y'² = C²(1+y'²) → y'²(1−C²) = C² → y' = C/√(1−C²) = const.

Вывод

— y' = константа → y = ax + b — прямая линия! С граничными условиями y(0) = 0, y(1) = 1: y = x.

Высшие производные

— J = ∫F(x, y, y', y'') dx. ЭЛ: Fᵧ − d/dx F_{y'} + d²/dx² F_{y''} = 0. Уравнение 4-го порядка. Пример: балка, J = ∫(EI y'')² dx → EI y'''' = 0.

Обычный математический анализ ищет экстремум функции от числа или вектора: найти x, минимизирующий f(x). Вариационное исчисление решает задачу другого уровня: найти функцию y(x), минимизирующую некоторую «функцию от функции» — функционал. Именно такие задачи возникают в физике («по какой траектор...

История дисциплины начинается с 1696 года, когда Иоганн Бернулли предложил задачу брахистохроны: найти форму горки, по которой шарик скатывается между двумя точками за минимальное время. Задача поразила современников: ответ — не прямая (кратчайшее расстояние), а циклоида. Это открытие дало толчок...

Функционал — отображение из пространства функций в ℝ: J: {y : [a,b] → ℝ} → ℝ.

Здесь F — заданная «лагранжева функция» трёх аргументов: F(x, y, p), где x — независимая переменная, y — значение функции, p = y' — производная. Функционал «суммирует» вклад F вдоль кривой.

Определения

Вторая вариация

— δ²J[y*; η] = d²/dε²|_{ε=0} J[y* + εη]

Необходимое условие для минимума

— δ²J[y*; η] ≥ 0 для всех допустимых η.

Условие Лежандра (необходимое)

— для минимума необходимо P(x) = F_{y'y'}(x, y*(x), y*'(x)) ≥ 0 на всём отрезке [x₀, x₁].

Смысл

— F должна быть «выпуклой по y'» вдоль экстремали. Если P(x) < 0 хотя бы в одной точке, экстремаль не является минимумом.

Усиленное условие Лежандра (достаточное)

— P(x) > 0 строго на всём [x₀, x₁].

Пример

— J[y] = ∫(1/2)(y'² − y²) dx (маятник). F = (1/2)(p² − y²). F_{y'y'} = 1 > 0 — условие Лежандра выполнено. Это ещё не достаточно для минимума, нужно проверить условие Якоби.

Квадратичный функционал

— δ²J = ∫(Pη'² + Qη²)dx — это функционал от η. Минимально при каких η?

Условие Якоби для минимума

— сопряжённая точка x̄ не должна лежать в открытом интервале (x₀, x₁). Если x̄ ∈ (x₀, x₁) — экстремаль не является минимумом.

Функционал

— J[y] = (1/2)∫₀ᵀ (y'² − y²) dx (малые колебания маятника, y — угол).

Уравнение Якоби

— −u'' − u = 0 → u'' + u = 0. Это уравнение гармонического осциллятора!

Сопряжённые точки

— u(x̄) = sin(x̄) = 0 → x̄ = π, 2π, 3π,...

Вывод

— Если T < π, то сопряжённая точка x̄ = π > T — условие Якоби выполнено, экстремаль — минимум. Если T > π — x̄ = π ∈ (0, T) — условие Якоби нарушено, экстремаль НЕ является минимумом.

Физический смысл

— при T < π маятник ещё не успел сделать четверть периода — траектория оптимальна. При T > π маятник «перекачнулся» — есть более короткий путь.

Теорема Морса

— связывает критические точки функционала (экстремали) с топологией пространства путей. Число геодезических между двумя точками на компактном многообразии ≥ суммы чисел Бетти многообразия путей. Это даёт нижние оценки на число решений вариационных з...

Метод конечных элементов (МКЭ)

— вариант Ритца с кусочно-линейными базисными функциями. Это основа ANSYS, COMSOL и других систем инженерного анализа. МКЭ сводит бесконечномерную вариационную задачу к конечномерной системе линейных уравнений KU = F.

Уравнение Эйлера-Лагранжа — это условие первого порядка, аналог «производная равна нулю». Как и в обычном анализе, критическая точка может быть минимумом, максимумом или седловой точкой. Для определения типа экстремаля нужны условия второго порядка. Это особенно важно в задачах оптимального управ...

Рассмотрим функционал J[y] = ∫F(x, y, y') dx и его второй производную по параметру ε при возмущении y* + εη:

Условие Лежандра (необходимое): для минимума необходимо P(x) = F_{y'y'}(x, y*(x), y*'(x)) ≥ 0 на всём отрезке [x₀, x₁].

Смысл: F должна быть «выпуклой по y'» вдоль экстремали. Если P(x) < 0 хотя бы в одной точке, экстремаль не является минимумом.

Определения

Классическая формулировка

— среди всех замкнутых кривых заданной длины L найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь.

Теорема

— для задачи min J[y] = ∫F(x,y,y')dx при J₂[y] = ∫G(x,y,y')dx = C экстремаль является экстремалью вспомогательного функционала:

Постановка

— гибкая цепь фиксированной длины L висит между точками A и B. Под действием силы тяжести она принимает форму, минимизирующую потенциальную энергию. Найти форму цепи.

Уравнение ЭЛ

— функционал H не зависит от x явно → используем первый интеграл:

Ответ

— y = a cosh(x/a + b) − λ, где a, b — константы из граничных условий. Это цепная линия (катенарий).

Физический смысл

— форма цепи не является параболой (как думали до Гюйгенса и Лейбница) — это гиперболический косинус! Разница хорошо видна при больших провесах.

Задача

— огородить максимальную территорию с прямолинейным берегом, используя верёвку длиной L.

Это теорема об изопериметрическом неравенстве

— для кривой длиной L площадь ≤ L²/(4π), причём равенство достигается для окружности.

Применение

— в строительстве все колонны, балки и тонкостенные конструкции проектируются с запасом по формуле Эйлера. Это прямое применение изопериметрических задач вариационного исчисления.

По преданию, финикийская царевна Дидона бежала в Северную Африку и попросила у местного вождя столько земли, «сколько можно охватить шкурой быка». Она разрезала шкуру на тонкие полосы и огородила ими участок — взяв прямую линию берега как одну сторону. Какую форму выбрала Дидона? Конечно, полуокр...

Классическая формулировка: среди всех замкнутых кривых заданной длины L найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь.

Это функционал с ограничением-функционалом — аналог задачи условной оптимизации в конечномерном пространстве.

Теорема: для задачи min J[y] = ∫F(x,y,y')dx при J₂[y] = ∫G(x,y,y')dx = C экстремаль является экстремалью вспомогательного функционала:

Определения

Задача Лагранжа

— min J = ∫F dx при дифференциальных ограничениях G(x,y,y') = 0. Движение вдоль кривой с дополнительными связями.

Задача Майера

— min J = g(x₀, y(x₀), x₁, y(x₁)) — минимизируем только граничную функцию, без интеграла. Это задача с нефиксированными концами.

Вывод

— при вариации δJ = 0 с незакреплённой правой точкой возникает «остаток» от интегрирования по частям:

Условие поперечности

— F_{y'} · φ_x = (F − y' F_{y'}) · φ_y

Геометрический смысл для задачи о геодезической

— если ищем кратчайшее расстояние от точки A до кривой C, условие поперечности означает, что экстремаль перпендикулярна C в конечной точке. Это интуитивно очевидно: кратчайший путь от точки до кривой — перпендикуляр к этой кривой.

Задача

— найти кратчайшую кривую от точки A = (0, 2) до параболы C: y = x²/2.

Уравнение ЭЛ

— экстремали — прямые y = ax + b.

В простейшей постановке вариационного исчисления оба конца кривой фиксированы: y(x₀) = y₀, y(x₁) = y₁. Но во многих реальных задачах это не так. Например, нужно найти кратчайший путь от точки A до некоторой кривой C (конечная точка не фиксирована, а лишь должна лежать на C). Или функционал содерж...

Задача Лагранжа: min J = ∫F dx при дифференциальных ограничениях G(x,y,y') = 0. Движение вдоль кривой с дополнительными связями.

Задача Майера: min J = g(x₀, y(x₀), x₁, y(x₁)) — минимизируем только граничную функцию, без интеграла. Это задача с нефиксированными концами.

Задача Больца (общая форма): min J = ∫F dx + g(x₀, y₀, x₁, y₁) при дополнительных ограничениях. Объединяет Лагранжа и Майера.

Определения

Метод решения

— либо явная параметризация (как с маятником), либо метод множителей Лагранжа-функций.

Задача с препятствием (obstacle problem)

— найти наименьшую поверхность, лежащую выше заданного препятствия ψ(x,y). Решение удовлетворяет:

Задача

— частица массы m прикреплена нитью длиной l к точке O = (0,0). Движется в силе тяжести. Найти уравнения движения.

Переменные

— x(t), y(t) — координаты. Связь: φ = x² + y² − l² = 0 (нить нерастяжима).

Уравнения с множителем

— уравнение Лагранжа с реакцией связи:

Переход к обобщённой координате

— θ (угол). x = l sin θ, y = −l cos θ. L = ml²θ̇²/2 + mgl cos θ. ЭЛ: ml²θ̈ = −mgl sin θ → θ̈ + (g/l) sin θ = 0 — уравнение маятника. Связь исчезла, λ исключилась!

В реальном мире движение тел почти всегда ограничено: маятник движется по дуге окружности, автомобиль катится без проскальзывания, жидкость течёт по трубе. Такие ограничения называются связями (constraints). Вариационное исчисление с ограничениями — это теория, позволяющая системно работать с так...

Голономная связь задаёт условие вида φ(x, y(x)) = 0 — это функциональное уравнение на кривые. Называется так от греческого «holos» (целый) — ограничение полностью определяет конфигурацию.

Пример: математический маятник в декартовых координатах. Частица движется в ℝ², но прикреплена к точке нитью длиной l. Голономная связь: x² + y² = l². Система имеет 2 − 1 = 1 степень свободы. В обобщённой координате θ (угол): x = l sin θ, y = −l cos θ, связь исчезает!

Метод решения: либо явная параметризация (как с маятником), либо метод множителей Лагранжа-функций.

Определения

Действие

— функционал S[q] = ∫_{t₀}^{t₁} L(t, q, q̇) dt, где L = T − U — лагранжиан (кинетическая − потенциальная энергия), q = (q₁,...,qₙ) — обобщённые координаты.

Принцип Гамильтона

— физическая траектория между q(t₀) и q(t₁) — экстремаль функционала S.

Обобщённый импульс

— pᵢ = ∂L/∂q̇ᵢ (сопряжённый к qᵢ)

Гамильтониан

— H = Σᵢ pᵢq̇ᵢ − L (преобразование Лежандра)

Физический смысл

— для консервативных систем H = T + U = полная энергия. Сохранение H ↔ не зависит явно от времени: ∂H/∂t = 0.

Скобка Пуассона

— {f, g} = Σᵢ (∂f/∂qᵢ ∂g/∂pᵢ − ∂f/∂pᵢ ∂g/∂qᵢ)

Теорема Нётер (механическая версия)

— каждой непрерывной симметрии действия соответствует закон сохранения:

Модель

— три массы m₁, m₂, m₁ (O−C−O) на пружинах жёсткости k.

В XVII веке Ньютон описал механику через силы: F = ma. Это работало, но требовало явного учёта всех сил, в том числе реакций связей. Лагранж в XVIII веке показал: всю механику можно выразить через один вариационный принцип — принцип наименьшего действия. Это радикально упрощает вычисления (реакци...

Действие: функционал S[q] = ∫_{t₀}^{t₁} L(t, q, q̇) dt, где L = T − U — лагранжиан (кинетическая − потенциальная энергия), q = (q₁,...,qₙ) — обобщённые координаты.

Принцип Гамильтона: физическая траектория между q(t₀) и q(t₁) — экстремаль функционала S.

Главное преимущество: q могут быть любыми координатами, удобными для описания системы. Уравнения Лагранжа инвариантны относительно замены координат — это следствие вариационной природы принципа.

Определения

Обобщённый импульс

— p = ∂L/∂y' — переменная, сопряжённая к y'.

Гамильтониан

— H(x, y, p) = p·y' − L(x, y, y'), где y' выражается через p из p = ∂L/∂y'.

Канонические уравнения

— ẏ = ∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂y.

Пример

— L = (1/2)y'² − U(y) (одномерная механика). p = y'. H = p·y' − (1/2)y'² + U = (1/2)p² + U. Канонические уравнения: ẏ = p, ṗ = −U'(y). Это уравнение Ньютона!

Теорема Якоби

— вдоль экстремали p = ∂S/∂y (импульс = частная производная действия по конфигурации).

Геометрический смысл

— поверхности уровня S(x,y) = C называются «волновыми фронтами». Экстремали («траектории», «лучи») перпендикулярны волновым фронтам — они направлены вдоль ∇S.

Принцип Ферма

— свет идёт по пути, минимизирующему время. Функционал: J = ∫n(x,y)ds, где n — показатель преломления, ds — элемент длины.

Уравнение эйконала

— |∇S|² = n²(x,y). Это частный случай ГЯ для оптики.

Квантовая механика

— волновая функция ψ = exp(iS/ℏ). Уравнение Шрёдингера при ℏ→0: [(∂S/∂t) + H(x, ∇S)] ψ → 0. Это и есть ГЯ! Квантовые интерференционные эффекты — следствие конечности ℏ.

Задача

— свободные колебания маятника. H = p²/(2ml²) + mgl(1 − cos θ).

Период колебаний

— T = ∂S/∂E = 2∮ dθ/|p/ml²| = 2ml² ∮dθ/√[2ml²(E−mgl(1−cosθ))].

В 1820-х годах Уильям Гамильтон заметил поразительную аналогию: математика геометрической оптики (путь луча света) формально совпадает с математикой классической механики. Это привело его к созданию единого формализма — уравнения Гамильтона-Якоби. Позже, в 1926 году, Шрёдингер показал, что кванто...

Гамильтониан: H(x, y, p) = p·y' − L(x, y, y'), где y' выражается через p из p = ∂L/∂y'.

Пример: L = (1/2)y'² − U(y) (одномерная механика). p = y'. H = p·y' − (1/2)y'² + U = (1/2)p² + U. Канонические уравнения: ẏ = p, ṗ = −U'(y). Это уравнение Ньютона!

Рассмотрим семейство экстремалей, исходящих из фиксированной точки A = (x₀, y₀). Для каждой точки B = (x, y) определим функцию действия: S(x, y) = значение функционала J вдоль экстремали от A до B.

Определения

Задача Монжа

— найти отображение T: X → X («план переноски»), транспортирующее μ в ν (то есть T_#μ = ν — «образ» μ под T равен ν), минимизирующее суммарную стоимость:

Проблема формулировки Монжа

— отображение T — это «детерминированный» план, но иногда оптимально «расщепить» единицу материала. Например, часть земли с места x₁ идёт в яму y₁, часть — в y₂. Монжевский план этого не допускает.

Двойственная задача Канторовича

— по теореме двойственности ЛП:

Свойства

— W_p — настоящая метрика на пространстве вероятностных мер. Сходимость по W_p эквивалентна слабой сходимости + сходимости p-момента.

Пространство Вассерштейна

— P_p(ℝⁿ) с метрикой W_p — «пространство форм». Интерполяция между μ и ν по W₂ — это «оптимальный морфинг» между двумя распределениями.

Смысл

— оптимальный план транспортировки — это «сдвиг вдоль градиента выпуклой функции». Это поразительно: из задачи переноски земли возникает выпуклость!

Полярное разложение Брейера-МакКана

— любое отображение T: ℝⁿ → ℝⁿ, сохраняющее меры (T_#μ = ν), разлагается в T = R ∘ ∇φ, где R — поворот (сохраняет расстояние), ∇φ — оптимальный транспорт.

WGAN (Wasserstein GAN)

— обучение генеративных нейросетей. Обычный GAN использует KL-дивергенцию, которая нестабильна при непересекающихся распределениях. WGAN заменяет на W₁:

Сопоставление точек (Point Cloud Matching)

— сопоставить два набора точек {xᵢ} ~ μ и {yⱼ} ~ ν с минимальными затратами. Алгоритм Sinkhorn — быстрый итерационный метод для приближённого решения задачи Канторовича с энтропийной регуляризацией.

Morph между изображениями

— усреднение изображений в пространстве Вассерштейна. Барицентр Вассерштейна: min_{ν} Σᵢ wᵢ W₂²(μᵢ, ν). Результат — «средний» образ, сохраняющий геометрию.

Задача

— μ = 0.5 δ₀ + 0.5 δ₂ (масса 0.5 в точках 0 и 2), ν = 0.5 δ₁ + 0.5 δ₃ (масса 0.5 в точках 1 и 3). Стоимость c(x,y) = |x−y|².

Допустимые планы

— γ задаётся матрицей 2×2 с суммами строк (0.5, 0.5) и столбцов (0.5, 0.5):

Стоимость

— C(γ) = a|0−1|² + (0.5−a)|0−3|² + (0.5−a)|2−1|² + a|2−3|² = a + 9(0.5−a) + (0.5−a) + a = 4.5 − 8a.

W₂

— √C = √0.5 ≈ 0.707.

В 1781 году французский математик Гаспар Монж поставил вопрос: как переместить кучу земли (плотность μ) в яму (плотность ν) с минимальными затратами труда? Задача оказалась невероятно сложной и оставалась нерешённой 160 лет. В 1942 году советский математик Леонид Канторович решил расслабленную ве...

Даны две меры μ и ν на пространстве X (например, вероятностные распределения на ℝⁿ) и функция стоимости c(x, y) ≥ 0 (стоимость перемещения «единицы материала» из x в y).

Задача Монжа: найти отображение T: X → X («план переноски»), транспортирующее μ в ν (то есть T_#μ = ν — «образ» μ под T равен ν), минимизирующее суммарную стоимость:

Проблема формулировки Монжа: отображение T — это «детерминированный» план, но иногда оптимально «расщепить» единицу материала. Например, часть земли с места x₁ идёт в яму y₁, часть — в y₂. Монжевский план этого не допускает.

Определения

На плоскости

— gᵢⱼ = δᵢⱼ → Γᵏᵢⱼ = 0 → уравнение: d²xᵏ/ds² = 0 → xᵏ = aᵏs + bᵏ (прямые!).

Ковариантное ускорение

— ∇_{γ'} γ' = d²xᵏ/ds² + Γᵏᵢⱼ ẋⁱ ẋʲ.

Интуиция

— на искривлённой поверхности «прямая» — это кривая, вдоль которой вы «идёте прямо» (не поворачивая). Если нарисовать прямую на листе бумаги и свернуть бумагу в цилиндр, нарисованная прямая станет геодезической (винтовой линией или прямой образующей...

Вторая вариация длины

— δ²J = ∫[|J'|² − K(J, γ', J, γ')] ds, где K — гауссова кривизна, J — поле Якоби.

Теорема Якоби-Бонне

— геодезическая является кратчайшей до первой сопряжённой точки.

Пример

— на сфере радиуса R геодезические — большие окружности. Для точки A = «северный полюс» сопряжённая точка — «южный полюс» (на расстоянии πR). Дуга большой окружности от северного полюса до южного — кратчайшая. Но если продолжить дальше (дуга > πR), ...

Минимальная поверхность

— экстремаль функционала площади Area[S] = ∫∫_Ω √(EG−F²) du dv.

Физический смысл

— мыльная плёнка принимает форму минимальной поверхности — при нулевом перепаде давления силы поверхностного натяжения балансируют в каждой точке. Это и есть H = 0.

Задача Плато

— существует ли минимальная поверхность с заданной граничной кривой Γ?

Задача

— найти поверхность вращения минимальной площади, соединяющую две окружности x² + z² = r₀² при y = ±h.

Функционал

— Area = 2π∫₋ₕʰ r(y)√(1 + r'(y)²) dy.

Уравнение ЭЛ

— d/dy[r·r'/√(1+r'²)] − √(1+r'²) = 0.

Физическое применение

— мыльная плёнка между двумя кольцами принимает форму катеноида. При разведении колец: если расстояние превышает критическое, плёнка «рвётся» на два диска. Это бифуркация минимальных поверхностей!

Формулы

Дифференциальная геометрия и вариационное исчисление тесно переплетены: ключевые геометрические объекты определяются как экстремали функционалов. Геодезические — кратчайшие кривые — суть экстремали функционала длины. Минимальные поверхности — экстремали функционала площади. Эта связь глубока: пон...

Геодезическая на поверхности — кривая, минимизирующая длину между двумя точками (локально). Формально: экстремаль функционала J[γ] = ∫|γ'(t)| dt.

где s — длина дуги, Γᵏᵢⱼ — символы Кристоффеля — вычисляются из метрического тензора gᵢⱼ:

На плоскости: gᵢⱼ = δᵢⱼ → Γᵏᵢⱼ = 0 → уравнение: d²xᵏ/ds² = 0 → xᵏ = aᵏs + bᵏ (прямые!).

Определения

Условие оптимальности

— для оптимальной формы: j(x) = const на ∂Ω (или равно множителю Лагранжа при изопериметрическом ограничении).

Пример

— для задачи на диффузию (−∆u = f в Ω, u = 0 на ∂Ω), J = ∫_Ω u dx: производная формы dJ/dt = −∫_{∂Ω} (∂u/∂n)² V·n dS. Условие оптимума: (∂u/∂n)² = const на ∂Ω — поток через оптимальную границу постоянен.

Подход с плотностью

— ρ(x) ∈ [0, 1] — «плотность материала» в каждой точке. ρ = 1: материал есть. ρ = 0: пусто.

Задача

— min_{ρ ∈ [0,1]} ∫_Ω ρ dΩ (объём материала) при ограничениях на комплаенс (жёсткость конструкции).

Проблема

— J зависит от u, которое зависит от Ω. Градиент dJ/dΩ нужен для оптимизации, но вычисление «в лоб» требует N расчётов для N параметров формы.

Применение

— Airbus использует сопряжённый метод для оптимизации профилей крыльев A380. NASA оптимизирует лопатки турбин. Экономия топлива — 2-5% за счёт оптимальной формы.

Исходное состояние

— ρ = 0.5 везде. Жёсткость однородная.

После 5 итераций

— появляются «тяжи» от опор к точке нагрузки, материал из ненагруженных областей перетекает.

После 50 итераций

— чёрно-белая конструкция. Треугольные тяжи, идущие от центра нагрузки к точкам крепления. Похожа на ферму моста!

Результат

— жёсткость увеличена в 3.5 раза при той же массе по сравнению с равномерным распределением. Такая конструкция невозможна без топологической оптимизации.

Инженер проектирует несущую балку самолётного крыла. Требования: выдержать заданную нагрузку, весить как можно меньше. Где убрать материал? Форма крыла оптимизируется именно как решение вариационной задачи — минимизировать объём (массу) при ограничениях прочности. Это и есть оптимизация формы. Ка...

Дана область Ω ⊂ ℝⁿ — «тело» — с границей Γ = ∂Ω. На Ω решается уравнение в частных производных (деформация, течение, тепло). Задача: найти форму Ω, минимизирующую функционал J(Ω).

Сложность: область Ω — бесконечномерный объект. Как взять «производную» по форме?

Семейство областей: Ω_t, деформированных вдоль вектора скорости V(x) на границе:

Определения

Постановка

— тело Ω в равновесии под действием объёмных сил f и поверхностных нагрузок t на части ∂Ω_t.

Принцип виртуальных перемещений

— тело в равновесии тогда и только тогда, когда суммарная виртуальная работа равна нулю для любого допустимого виртуального перемещения δu:

Полная потенциальная энергия

— Π[u] = ∫_Ω W(ε(u)) dV − ∫_Ω f·u dV − ∫_{∂Ω_t} t·u dS

Принцип

— из всех допустимых полей перемещений (удовлетворяющих кинематическим граничным условиям) равновесное минимизирует Π.

Идея

— разбить Ω на конечные элементы Ωₑ (треугольники, тетраэдры). В каждом элементе аппроксимировать u полиномиальными функциями форм Nᵢ(x): u ≈ Σᵢ uᵢ Nᵢ(x), где uᵢ — узловые перемещения.

Подстановка в Π

— Π[u] = Π(u₁,...,uN) — функция от N вещественных чисел.

Размерность

— N = 3 × (число узлов). Для модели самолёта — миллионы степеней свободы. ANSYS решает такие системы за часы.

Принцип Кастильяно

— для конструкций с известными усилиями — перемещение в точке приложения силы = производная дополнительной энергии по этой силе. Прост для ферм и балок.

Задача

— балка длиной L, закреплена в точке x=0 (защемление: u(0)=u'(0)=0), свободный конец нагружен силой P при x=L. Найти форму изогнутой балки.

Функционал

— Π[u] = ∫₀ᴸ (EI/2)(u'')² dx − P·u(L)

Уравнение ЭЛ

— ∂Π/∂(δu) = 0 → EI u'''' = 0 в (0,L).

Граничные условия

— u(0) = u'(0) = 0 (защемление), EI u''(L) = 0, EI u'''(L) = P.

Решение

— u'''' = 0 → u = ax³ + bx² + cx + d. Из BC: d = 0, c = 0, 6aL + 2b = 0, 6aEI = P.

Прогиб на конце

— u(L) = PL³/(3EI) — стандартная формула строительной механики!

Модели

— неогуковский (W = μ(I₁−3)/2), Муни-Ривлин (W = C₁(I₁−3) + C₂(I₂−3)). Используются в биомеханике (моделирование сердца, сосудов, кожи), резиноизделиях, мягкой робототехнике.

Механика сплошных сред — теория деформируемых тел: балок, пластин, жидкостей, резин. Её уравнения (равновесия, движения) выводятся из вариационных принципов. Это не просто математическое удобство: вариационная формулировка напрямую порождает метод конечных элементов — главный инструмент инженерны...

Постановка: тело Ω в равновесии под действием объёмных сил f и поверхностных нагрузок t на части ∂Ω_t.

Принцип виртуальных перемещений: тело в равновесии тогда и только тогда, когда суммарная виртуальная работа равна нулю для любого допустимого виртуального перемещения δu:

Это «слабая» формулировка уравнений равновесия. Из него следует «сильная» через интегрирование по частям: ∂ⱼσᵢⱼ + fᵢ = 0 в Ω, σᵢⱼnⱼ = tᵢ на ∂Ω_t.

Определения

Инвариантность

— S[ȳ] = S[y] для всех допустимых y → условие на L и (ξ, η).

Теорема Нётер (1915)

— если действие S[y] = ∫L(x,y,y')dx инвариантно относительно однопараметрической группы с генератором (ξ, η), то существует ток Нётер — сохраняющаяся величина:

Это означает

— J = const является «интегралом движения» — сохраняющейся величиной, которую можно вычислить в любой момент.

Стандартная модель

— лагранжиан инвариантен относительно SU(3)×SU(2)×U(1). Каждая группа → сохраняющийся заряд: цвет (кварков), изоспин (слабого взаимодействия), электрический заряд.

Явное нарушение

— ∂L/∂x ≠ 0 (источник, зависящий от положения). Закон сохранения заменяется уравнением с «источником»: dJ/dt = нарушающий член. Пример: маятник в воде (диссипация) — энергия не сохраняется.

Спонтанное нарушение

— уравнения обладают симметрией, но «вакуумное» (равновесное) состояние — нет.

Теорема Голдстоуна

— при спонтанном нарушении непрерывной глобальной симметрии возникают безмассовые бозоны (голдстоуновские моды). Это «бесплатные» колебания вдоль направления нарушенной симметрии.

Механизм Хиггса

— если симметрия локальная (калибровочная), голдстоуновские бозоны «поглощаются» калибровочными полями, и те приобретают массу. Именно так бозоны W± и Z⁰ приобрели массу, что объясняет короткодействие слабого взаимодействия.

Система

— частица в центральном поле U = U(r), r = √(x²+y²). L = m(ẋ²+ẏ²)/2 − U(r).

Симметрия

— повороты (x,y) → (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α). Это непрерывная симметрия (группа SO(2)).

Ток Нётер

— J = m(xẏ − yẋ) = Lz (момент импульса по оси z). Закон: Lz = const.

В 1915 году Эмми Нётер доказала теорему, которую физики называют одним из величайших достижений математической физики XX века. Теорема утверждает: каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует закон сохранения. Пространство однородно? → сохраняется импульс. Время однородно? → сохр...

Симметрия действия S[y] = ∫L(x,y,y') dx — это однопараметрическая группа преобразований (x,y) → (x̄(x,y,ε), ȳ(x,y,ε)) при ε → 0, не меняющая значение S.

Инфинитезимальное преобразование: x̄ = x + εξ(x,y) + O(ε²), ȳ = y + εη(x,y) + O(ε²).

Теорема Нётер (1915): если действие S[y] = ∫L(x,y,y')dx инвариантно относительно однопараметрической группы с генератором (ξ, η), то существует ток Нётер — сохраняющаяся величина: