SIR-модели и распространение эпидемий

Эпидемиологические модели: от SIR до COVID-19

Математическая эпидемиология позволяет предсказывать динамику инфекционных заболеваний, оценивать эффективность вмешательств и обосновывать публичные меры. Пандемия COVID-19 наглядно продемонстрировала силу и ограничения этих моделей.

Базовая SIR-модель (Kermack-McKendrick, 1927)

Популяция N делится на три компартмента:

S (Susceptible — восприимчивые): могут заразиться
I (Infected — инфицированные): заразны
R (Recovered — выздоровевшие или умершие): иммунны

Уравнения:

dS/dt = −βSI/N

dI/dt = βSI/N − γI

dR/dt = γI

Расшифровка параметров:

β — скорость контакта × вероятность передачи. βI/N — «сила инфекции» для одного S-индивида
γ — скорость выздоровления: 1/γ = среднее время заразного периода
S+I+R = N = const (пренебрегаем демографией)

Базовое репродуктивное число R₀

Центральная характеристика инфекции: R₀ = β/γ — среднее число вторичных случаев от одного инфицированного в полностью восприимчивой популяции.

Пороговое условие: dI/dt = I(βS/N − γ) > 0 тогда и только тогда, когда S > γN/β = N/R₀. Эпидемия возможна, пока S > N/R₀.

Порог коллективного иммунитета: для подавления эпидемии нужно снизить S < N/R₀, т.е. иммунизировать долю p* = 1 − 1/R₀ населения.

Примеры R₀: корь 12–18, дифтерия 6–7, COVID-19 Уханьский штамм ≈ 2.4, омикрон ≈ 8–15, грипп ≈ 1.5.

Хаттрикс окончательного размера

Сколько людей в итоге переболеет? Размер эпидемии (final size) R∞ = N − S∞ определяется из трансцендентного уравнения:

S∞ = S₀ · exp(−R₀(1 − S∞/N))

Приближение при малом I₀: R∞/N ≈ 1 − exp(−R₀·R∞/N) → R∞ решается численно. При R₀=2.5: R∞/N ≈ 0.89 (89% переболеет без мер).

Расширения SIR

SEIR: добавляем E (Exposed — инкубационный период). dE/dt = βSI/N − σE (σ — скорость окончания инкубации). Реалистичнее для многих болезней.

SIR с демографией: рождения μN и смерти μS, μI, μR → эндемическое равновесие. Болезнь не исчезает, а становится эндемической.

Возрастная структура: разные β и γ для разных возрастных групп. Матрица контактов POLYMOD: ageij × β = частота контактов возрастной группы i с j. Ключево для COVID-19: летальность резко выше для пожилых.

Сетевые SIR-модели: вместо «полного перемешивания» — структура сети (безмасштабная, малый мир). R₀_сеть = ⟨k²⟩/(⟨k⟩·τ), где τ — время выздоровления. В безмасштабных сетях нет порога!

COVID-19: модель Ferguson et al.

Группа Нила Фергюсона (Imperial College, 2020) создала агентную модель COVID-19 с 66 миллионами агентов, представляющих население Великобритании.

Основные параметры: R₀ ≈ 2.4 (начальный штамм Уханя в Великобритании), инкубационный период 5.1 дня, доля бессимптомных ≈ 50%, инфекционный период 7 дней.

Сценарии и прогнозы: без вмешательства → 510 000 смертей в Великобритании за 2 года. Полное подавление (локдаун, тестирование, карантин) → 20 000 смертей. Смягчение (самоизоляция больных) → 260 000 смертей.

Эти расчёты непосредственно повлияли на решение правительства Великобритании ввести локдаун 23 марта 2020 года.

Инфодемия: вирусное распространение дезинформации

Дезинформация распространяется быстрее правды (Vosoughi et al., Science 2018): ложные новости в Twitter распространяются в 6 раз быстрее правдивых, охватывая более 10× больше пользователей. Причина: эмоциональный заряд (шок, гнев) → выше вероятность репоста. SIR-аналоги для информации на социальных сетях — «инфодемические модели».

Задание: Реализуйте SEIR-модель с параметрами COVID-19 омикрон: R₀=10, σ=1/3 (инкубация 3 дня), γ=1/5 (заразный период 5 дней), N=10 млн, I₀=10. (1) Постройте кривую «эпидемической волны» (I(t)). (2) Вычислите пиковую нагрузку на ICU (10% тяжёлых случаев от I). (3) Введите вакцинацию: 40% население иммунизировано до начала (S₀ = 0.6N). Как меняется пик? (4) Введите «нефармацевтические вмешательства»: с недели 4 β снижается на 30%. Эффект?