Точные уравнения и интегрирующий множитель

Откуда берутся точные уравнения

Если функция F(x, y) дифференцируема, то её полный дифференциал равен dF = (∂F/∂x) dx + (∂F/∂y) dy. Уравнение dF = 0 означает, что F постоянна вдоль интегральных кривых: F(x, y) = C. Это и есть неявное решение — семейство линий уровня функции F.

Но что если нам дано уравнение P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, и мы не знаем, является ли оно дифференциалом какой-то функции? Критерий точности и метод нахождения F — это и есть теория точных уравнений.

Точные ОДУ: определение и критерий

Уравнение P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 называется точным, если существует функция F(x,y) такая, что ∂F/∂x = P и ∂F/∂y = Q. Тогда уравнение принимает вид dF = 0, и его общее решение — F(x, y) = C.

Критерий точности: Если P и Q имеют непрерывные частные производные в просто связной области, то уравнение точное тогда и только тогда, когда ∂P/∂y = ∂Q/∂x.

Смысл: это условие равенства смешанных производных функции F (теорема Шварца). Если P = Fₓ и Q = Fy, то Py = Fₓᵧ = Fyₓ = Qₓ.

Нахождение функции F: пошаговый алгоритм

Шаг 1: Проверить критерий ∂P/∂y = ∂Q/∂x.

Шаг 2: Интегрировать по x: F(x, y) = ∫ P(x, y) dx + φ(y), где φ(y) — неизвестная функция только от y (аналог константы интегрирования).

Шаг 3: Из условия ∂F/∂y = Q найти φ'(y) и проинтегрировать.

Развёрнутый пример: Решить (2xy + y²) dx + (x² + 2xy) dy = 0.

Проверка: ∂P/∂y = 2x + 2y; ∂Q/∂x = 2x + 2y. Равны — уравнение точное. ✓

Находим F: F = ∫(2xy + y²) dx = x²y + xy² + φ(y).

Из ∂F/∂y = Q: x² + 2xy + φ'(y) = x² + 2xy → φ'(y) = 0 → φ = const.

Общее решение: x²y + xy² = C, или xy(x + y) = C.

Геометрически: семейство кривых xy(x + y) = C покрывает плоскость. Через каждую точку (не лежащую на координатных осях) проходит ровно одна такая кривая.

Интегрирующий множитель

Что делать, если уравнение неточное (∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x)? Иногда удаётся найти функцию μ(x, y) такую, что уравнение μP dx + μQ dy = 0 становится точным. Такая μ называется интегрирующим множителем.

Условие точности для нового уравнения: ∂(μP)/∂y = ∂(μQ)/∂x. Это уравнение в частных производных на μ — в общем случае оно не проще исходного. Но в частных случаях оно решается.

Если μ зависит только от x: отношение (∂P/∂y − ∂Q/∂x)/Q = g(x) должно зависеть только от x. Тогда μ = e^(∫g(x) dx).

Если μ зависит только от y: отношение (∂Q/∂x − ∂P/∂y)/P = h(y) должно зависеть только от y. Тогда μ = e^(∫h(y) dy).

Пример: y dx − x dy = 0. Здесь P = y, Q = −x. ∂P/∂y = 1 ≠ ∂Q/∂x = −1. Неточное.

(∂P/∂y − ∂Q/∂x)/Q = (1 − (−1))/(−x) = −2/x = g(x). Зависит только от x! μ = e^(∫−2/x dx) = e^(−2 ln x) = 1/x².

Умножаем: (y/x²) dx − (1/x) dy = 0. Проверим: ∂(y/x²)/∂y = 1/x², ∂(−1/x)/∂x = 1/x². Точное! Находим F: F = ∫y/x² dx = −y/x + φ(y). Из ∂F/∂y = −1/x: −1/x + φ' = −1/x → φ = const. Ответ: y/x = C, или y = Cx.

Уравнение Бернулли

y' + p(x)y = q(x)yⁿ (n ≠ 0, 1) — нелинейное уравнение, сводящееся к линейному.

Замена z = y^(1-n): z' = (1-n) y^(-n) y'. Делим уравнение на yⁿ и умножаем на (1-n):

z' + (1-n) p(x) z = (1-n) q(x).

Это линейное уравнение первого порядка на z — решается стандартным методом.

Приложение: Уравнение логистического роста: N' = kN(1 − N/K) — модель роста с насыщением, где K — ёмкость среды. Это уравнение Бернулли с n = 2. Замена z = 1/N приводит к линейному уравнению z' − kz = −k/K. Решение: N(t) = K / (1 + ((K − N₀)/N₀)e^(-kt)). Эта S-образная кривая — «логистическая кривая» — описывает реальные популяции, распространение эпидемий и рыночное проникновение новых технологий точнее модели Мальтуса.

Уравнение Клеро и его особые решения

y = xy' + f(y') — уравнение Клеро. Дифференцируем по x: y' = y' + xy'' + f'(y')y'', откуда y''[x + f'(y')] = 0.

Случай 1: y'' = 0, то есть y' = C. Подставляем в исходное: y = Cx + f(C). Это семейство прямых — общее решение.

Случай 2: x + f'(y') = 0. Вместе с исходным уравнением это даёт параметрическое уравнение огибающей — особого решения, которое касается каждой прямой семейства.

Пример: y = xy' + (y')². Общее решение: y = Cx + C². Особое решение: x + 2C = 0 → C = -x/2, y = -x²/4. Это парабола, которую касается каждая прямая семейства y = Cx + C². Красивейший геометрический факт: параболе-огибающей соответствует «параболический рефлектор» — принцип концентрации отражённых лучей в точку фокуса.

Вопрос для размышления: Интегрирующий множитель позволяет решить уравнение, которое «само по себе» неточно. Как вы думаете, всегда ли существует интегрирующий множитель для любого ОДУ первого порядка?