Фазовые портреты линейных систем второго порядка

Фазовое пространство как инструмент анализа

При изучении системы x' = Ax в ℝ² не всегда нужна явная формула. Часто важнее понять, каков характер движения: колеблется ли система вокруг равновесия, стремится ли к нему или убегает? Для этого строят фазовый портрет — семейство траекторий в плоскости (x₁, x₂).

Фазовый портрет — «карта» поведения системы для всех начальных условий сразу. Единая картина заменяет бесконечно много отдельных графиков. Именно фазовые портреты позволили Пуанкаре в конце XIX века заложить основы качественной теории ДУ — геометрического подхода, предшествовавшего теории хаоса.

Классификация особых точек по собственным значениям

Поведение траекторий вблизи равновесия x* = 0 полностью определяется собственными значениями λ₁, λ₂ матрицы A.

Устойчивый узел: λ₁, λ₂ < 0 (вещественные, отрицательные). Все траектории стремятся к нулю с экспоненциальной скоростью. «Быстрое» собственное направление (λ более отрицательное) доминирует: траектории касаются его при x → 0.

Неустойчивый узел: λ₁, λ₂ > 0. Траектории убегают от нуля — «узел навыворот».

Седло: λ₁ < 0 < λ₂. Есть устойчивое инвариантное многообразие (вдоль λ₁ — траектории сходятся) и неустойчивое (вдоль λ₂ — траектории расходятся). Общая траектория гиперболически огибает начало координат. Седло — неустойчивое равновесие: точное попадание на стабильную сепаратрису гарантирует сходимость, малейшее отклонение — и траектория уходит.

Устойчивый фокус: λ = α ± βi, α < 0. Траектории — спирали, закручивающиеся к нулю. Частота вращения ω = β, скорость сближения — e^{αt}.

Неустойчивый фокус: α > 0. Спирали, разворачивающиеся от нуля.

Центр: λ = ±βi (чисто мнимые). Траектории — эллипсы (или окружности). Идеально консервативная система — гармонический осциллятор без трения.

Устойчивость и следы: правило рукой

Классификацию удобно делать по следу и детерминанту матрицы A:

• tr A = λ₁ + λ₂ и det A = λ₁λ₂.
• det A < 0: седло (корни разных знаков).
• det A > 0, (tr A)² < 4 det A: фокус; (tr A)² ≥ 4 det A: узел.
• tr A < 0: устойчиво; tr A > 0: неустойчиво; tr A = 0: центр.

Пример: A = [[−1, −2], [1, −3]]. tr A = −4 < 0; det A = 3 + 2 = 5 > 0. (tr A)² = 16, 4 det A = 20. (tr A)² < 4 det A → устойчивый фокус. Система стремится к нулю с закруткой.

Собственные значения: λ = (−4 ± √(16−20))/2 = −2 ± i. Проверяем: α = −2 < 0 (устойчиво), β = 1. ✓

Физические примеры

Электрический контур LRC: Уравнение: Li'' + Ri' + i/C = 0. В матричной форме с x₁ = i, x₂ = i': A = [[0, 1], [−1/(LC), −R/L]]. tr A = −R/L < 0 (при R > 0); det A = 1/(LC) > 0. Тип особой точки:

• Малое R: фокус (затухающие колебания).
• Критическое R = 2√(L/C): узел (апериодический возврат к 0).
• R > 2√(L/C): узел (вялый возврат к 0 без колебаний).

Маятник (малые колебания): A = [[0, 1], [−ω₀², 0]]. tr A = 0; det A = ω₀² > 0. Центр — идеальные незатухающие колебания. (Трение превратит центр в устойчивый фокус.)

Количественные характеристики устойчивости

Для инженеров важны не просто тип особой точки, но и количественные характеристики:

Показатель затухания ζ = −α/√(α² + β²). При ζ = 1 — критическое демпфирование (граница между фокусом и узлом). При ζ < 1 — слабое демпфирование (фокус); ζ > 1 — сильное (узел).

Собственная частота: ω₀ = √(det A). Частота затухающих колебаний: ωd = β = ω₀√(1 − ζ²).

Время установления: τ = 1/|α| — характерное время затухания. За время 5τ амплитуда уменьшается в e⁵ ≈ 150 раз.

Все эти характеристики — стандарт в теории автоматического управления (ПИД-регуляторы), проектировании механических систем, анализе электрических цепей.

Критерий Гурвица и устойчивость систем управления

Для системы n-го порядка с характеристическим многочленом p(λ) = λⁿ + a₁λⁿ⁻¹ + ... + aₙ критерий Гурвица даёт необходимые и достаточные условия устойчивости через знаки определителей Гурвица. Для n = 2: a₁ > 0 и a₂ > 0. Для n = 3: a₁ > 0, a₃ > 0 и a₁a₂ > a₃. В теории ПИД-регуляторов выбор коэффициентов (пропорционального, интегрального, дифференциального) сводится к обеспечению устойчивости замкнутой системы. Метод корневого годографа (root locus) — визуализация движения корней характеристического уравнения при изменении коэффициента обратной связи K. Граница устойчивости — значение K, при котором хотя бы один корень переходит мнимую ось.

Вопрос для размышления: На диаграмме (tr A, det A) нарисуйте границы областей различных типов особых точек. Какой тип особой точки «исчезает» при нарушении условия симметрии (антисимметрии) матрицы?