Стохастические дифференциальные уравнения: введение

Стохастические дифференциальные уравнения и исчисление Ито

Когда детерминированных моделей недостаточно

Многие реальные системы подвержены случайным возмущениям, которые принципиально нельзя игнорировать. Броуновское движение молекулы в жидкости определяется случайными столкновениями с соседними молекулами. Курс акции на бирже испытывает случайные колебания под влиянием новостей. Нервный импульс содержит тепловой шум. Экологическая система подвержена случайным флуктуациям климата.

Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) включают случайность явно в динамику системы. Это не «неточность модели» — это признание фундаментальной роли шума.

Броуновское движение как строительный блок

Процесс Винера W(t) (броуновское движение) — стохастический процесс, удовлетворяющий:

1. W(0) = 0,
2. W(t) непрерывен по t (почти наверное),
3. Приращения W(t) − W(s) ~ N(0, t − s) для t > s,
4. Приращения на непересекающихся интервалах независимы.

Ключевое свойство: W(t) нигде не дифференцируем (почти наверное). Его «производная» dW/dt — «белый шум» — в обычном смысле не существует. Однако стохастический интеграл ∫ f(t) dW(t) можно определить как предел сумм с особой (ито-итерационной) процедурой.

Масштабирование: Для малого dt приращение dW ~ N(0, dt) ~ √dt · N(0,1). То есть |dW| ~ √dt — это в √dt раз больше, чем «обычное» приращение dt. Это означает, что процессы Ито ведут себя иначе, чем обычные функции.

Стохастическое уравнение Ито

СДУ в форме Ито: dX(t) = a(X(t), t) dt + b(X(t), t) dW(t).

Первый член a — детерминированный дрейф, описывающий «среднее» движение. Второй член b — диффузионный (случайный), описывающий флуктуации.

Решение X(t) — стохастический процесс, удовлетворяющий интегральному уравнению:

X(t) = X(t₀) + ∫{t₀}^t a(X(s), s) ds + ∫{t₀}^t b(X(s), s) dW(s).

Второй интеграл — стохастический интеграл Ито: предел сумм с оценкой в левом конце подотрезка.

Формула Ито: аналог правила дифференцирования сложной функции

Для обычных функций: dF = F'(x) dx. Но для стохастических процессов это неверно из-за свойства dW ~ √dt.

Лемма Ито (формула Ито): Если X(t) удовлетворяет СДУ с дрейфом a и диффузией b, то для гладкой функции F(x, t):

dF = (∂F/∂t + a ∂F/∂x + (b²/2) ∂²F/∂x²) dt + b ∂F/∂x dW.

Ключевое отличие от детерминированного случая — поправка Ито (b²/2)(∂²F/∂x²): дополнительный «дрейфовый» член, возникающий из-за квадратичной природы шума.

Эвристическое обоснование: (dW)² ≈ dt (средний квадрат приращения!), поэтому разложение по Тейлору нужно вести до второго порядка: dF ≈ ∂_t F dt + ∂_x F dX + (1/2) ∂²_x F (dX)² = ∂_t F dt + ∂_x F (a dt + b dW) + (1/2)∂²_x F b² dt.

Геометрическое броуновское движение и формула Блэка–Шоулза

Модель цены акции:

dS = μS dt + σS dW.

Здесь μ — ожидаемая норма доходности, σ — волатильность (мера случайности). Это геометрическое броуновское движение: логарифм цены следует обычному броуновскому движению.

Применяем формулу Ито для F = ln S:

dF = (μ − σ²/2) dt + σ dW.

Интегрируем: ln S(t) − ln S(0) = (μ − σ²/2)t + σW(t).

Решение: S(t) = S(0) · exp((μ − σ²/2)t + σW(t)).

Поправка −σ²/2 по сравнению с наивной формулой e^{μt} — прямое следствие поправки Ито.

Из этой модели Блэк и Шоулз в 1973 году вывели знаменитую формулу ценообразования опционов:

C = S₀N(d₁) − Ke^{-rT}N(d₂),

где d₁ = (ln(S₀/K) + (r + σ²/2)T) / (σ√T), d₂ = d₁ − σ√T.

N — функция нормального распределения, K — страйк опциона, r — безрисковая ставка, T — срок до экспирации. Эта формула произвела революцию в финансовой инженерии — её авторы получили Нобелевскую премию по экономике в 1997 году. В её основе лежит формула Ито.

Уравнение Фоккера–Планка

Вместо отдельной траектории X(t) часто интересует распределение вероятностей p(x, t). Оно эволюционирует по уравнению Фоккера–Планка:

∂p/∂t = −∂(ap)/∂x + (1/2) ∂²(b²p)/∂x².

Это уравнение в частных производных параболического типа (аналог уравнения теплопроводности). Из него находим вероятность обнаружения системы в состоянии x в момент t.

Стационарное распределение: При ∂p/∂t = 0 находим равновесное распределение. Для линейного дрейфа (гармонический осциллятор со случайным шумом) стационарное распределение — нормальное (Гауссово) — основа термодинамического равновесия.

Вопрос для размышления: Формула Блэка–Шоулза предполагает, что волатильность σ постоянна. Реальные рынки демонстрируют изменчивую волатильность (улыбка волатильности). Как можно обобщить модель, чтобы учесть это? Какой класс СДУ описывает стохастическую волатильность?

Численные методы для СДУ: Эйлер–Маруяма и Мильштейн

Основной численный метод для СДУ dX = a(X,t)dt + b(X,t)dW — метод Эйлера–Маруяма: Xₙ₊₁ = Xₙ + a(Xₙ,tₙ)Δt + b(Xₙ,tₙ)ΔWₙ, где ΔWₙ ~ N(0, Δt) — нормально распределённые приращения. Порядок сильной сходимости 0.5 (вдвое хуже детерминированного метода Эйлера). Метод Мильштейна добавляет поправочный член bb'(ΔWₙ² − Δt)/2 и достигает порядка 1.0. Для модели Хестона (стохастическая волатильность): цена S и волатильность v описываются системой двух связанных СДУ с двумя коррелированными процессами Браунового движения. Эта система не имеет аналитического решения для большинства параметров.