Первая фундаментальная форма

Первая фундаментальная форма: внутренняя геометрия поверхности

Внутреннее vs внешнее

Представьте плоский лист бумаги. Его можно свернуть в цилиндр или конус. Для существа, живущего на листе (муравья), плоский лист и цилиндр неразличимы — расстояния, углы, площади сохраняются. Это и есть внутренняя геометрия — та, которую «видит» обитатель поверхности.

Первая фундаментальная форма кодирует именно внутреннюю геометрию: как измерять расстояния и площади, живя на поверхности, не выходя во внешнее 3D-пространство.

Поверхность и её касательное пространство

Поверхность задаётся гладким отображением r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) из области параметров (u, v) в ℝ³.

Касательные векторы: r_u = ∂r/∂u = (∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u), r_v = ∂r/∂v. В каждой точке они порождают касательную плоскость TₚM.

Нормаль: n = (r_u × r_v)/|r_u × r_v|. Перпендикулярна поверхности.

Регулярная точка: r_u × r_v ≠ 0 — условие того, что поверхность «гладкая» (нет самопересечений в данной точке).

Первая квадратичная форма

Первая фундаментальная форма (метрический тензор):

I = ds² = E du² + 2F du dv + G dv²

Коэффициенты: E = r_u · r_u = |r_u|², F = r_u · r_v, G = r_v · r_v = |r_v|².

Физический смысл: Если на поверхности задана кривая u = u(t), v = v(t), то её длина: L = ∫ √(E(u')² + 2F u'v' + G(v')²) dt. Первая форма — это «правило измерения расстояний» на поверхности.

Площадь: dS = |r_u × r_v| du dv = √(EG − F²) du dv. Площадь области D: S = ∬_D √(EG−F²) du dv.

Угол между кривыми: Для кривых с касательными (u₁', v₁') и (u₂', v₂'): cos θ = (Eu₁'u₂' + F(u₁'v₂' + u₂'v₁') + Gv₁'v₂') / √(I₁ · I₂).

Числовые примеры

Плоскость: r(u,v) = (u, v, 0). r_u = (1,0,0), r_v = (0,1,0). E = 1, F = 0, G = 1. ds² = du² + dv² — евклидова метрика. √(EG−F²) = 1 → площадь стандартная.

Единичная сфера: r(φ,θ) = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ). r_φ = (cos φ cos θ, cos φ sin θ, −sin φ), r_θ = (−sin φ sin θ, sin φ cos θ, 0).

E = r_φ · r_φ = 1, F = r_φ · r_θ = 0, G = r_θ · r_θ = sin²φ.

ds² = dφ² + sin²φ dθ² — стандартная метрика сферы.

dS = √(EG−F²) dφ dθ = sin φ dφ dθ. Площадь единичной сферы: ∫₀^π ∫₀^{2π} sin φ dθ dφ = 4π ✓.

Тор: r(u,v) = ((R + r cos v) cos u, (R + r cos v) sin u, r sin v). E = (R + r cos v)², F = 0, G = r². Площадь: 4π²Rr (зависит от обоих радиусов R и r — произведение длин окружностей 2πR и 2πr).

Конформные отображения: сохранение углов

Отображение f: M → N между поверхностями конформно, если оно сохраняет углы. Это равносильно: метрика f*(g_N) = λ² · g_M (масштабирование с переменным коэффициентом λ).

Важнейший пример: проекция Меркатора — конформное отображение сферы на плоскость (1569). Углы сохраняются → навигационные курсы прямые. Но площади искажаются: Гренландия кажется размером с Африку, хотя в 14 раз меньше.

Для конформного отображения сферы на плоскость: ds²_сферы = cos²(у/R)(du² + dv²) (после подходящих замен) → F = 0, E = G → ортогональная изотермальная система координат.

Внутренняя геометрия и теорема Гаусса

Важнейший факт: гауссова кривизна K = det([Lᵢⱼ]) / det([gᵢⱼ]) — она вычисляется только через E, F, G и их производные (теорема Гаусса). То есть K — внутреннее свойство!

Следствие: невозможно изометрически (без искажений расстояний) отобразить сферу на плоскость. Сфера имеет K = 1/R² > 0, плоскость — K = 0. Разные K → нет изометрии. Отсюда неизбежные искажения любых географических карт.

Первая фундаментальная форма в навигации и GPS

Практические приложения первой фундаментальной формы охватывают широкий круг задач. В навигации вычисление кратчайшего маршрута по поверхности Земли требует минимизации длины кривой по метрике сферы — задача, решаемая напрямую через коэффициенты E, F, G. Авиалинии летят по дугам больших кругов именно потому, что это геодезические сферической метрики. Система GPS вычисляет расстояния, используя эллипсоидную модель Земли — метрику WGS-84 с E, F, G для сфероида. Разница между сферической и эллипсоидной метриками составляет до нескольких километров на больших расстояниях, что критично для точной навигации. В геодезии понятие «нормальная высота» опирается на потенциал тяготения как функцию на многообразии — проектирование строительных объектов на больших территориях требует учёта кривизны земной поверхности. В компьютерной анимации поверхности персонажей задаются параметрически, и вычисление реалистичных деформаций (растяжений) ткани, кожи, мышц требует вычисления E, F, G и изменения метрики при деформации. Сохранение углов (конформность) и сохранение площадей (равновеликость) — два крайних предела, между которыми балансируют все реальные картографические проекции.

Первая фундаментальная форма незаменима в компьютерной графике при работе с параметрическими сетями: метрические коэффициенты E, F, G задают растяжение текстуры и используются в алгоритмах текстурного маппинга и расчёта UV-развёртки трёхмерных объектов. В численном моделировании поверхностных потоков (течение жидкости по поверхности, диффузия тепла по оболочке) оператор Лапласа–Бельтрами, выраженный через E, F, G, является основным дифференциальным оператором, дискретизируемым методом конечных элементов.

Задание: (а) Для параболоида r(u,v) = (u, v, u²+v²): найдите E, F, G и площадь над областью u²+v² ≤ 1. (б) Для единичной сферы: длина параллели φ = φ₀. Сравните с евклидовым кругом того же радиуса. (в) Докажите: для поверхности вращения r(u,v) = (f(u)cos v, f(u)sin v, g(u)) F=0 всегда (меридианы и параллели ортогональны).