Интегрирование форм и теорема Стокса

Интегрирование на многообразиях и теорема Стокса

Идея: «правильное» интегрирование на кривых поверхностях

Обычный интеграл ∫∫_D f dA «живёт» на плоскости. Как интегрировать на изогнутой поверхности? Нужен объект, который корректно трансформируется при замене координат — дифференциальная форма.

n-форма ω на n-мерном многообразии M — это «плотность» для интегрирования: в координатах ω = f(x) dx¹ ∧ ... ∧ dxⁿ. При замене координат якобиан преобразования «встраивается» автоматически — интеграл инвариантен.

Ориентация

Многообразие M ориентируемо, если существует атлас с положительными якобианами функций перехода: det(∂x/∂y) > 0. Ориентация — выбор «согласованного» направления во всех картах.

Ориентируемые: сфера S², тор T², ℝⁿ.

Неориентируемые: лист Мёбиуса (у него нет «двух сторон»), бутылка Клейна.

На ориентируемом M выбирается «правый» базис в каждой точке. Это позволяет определить «положительный» элемент объёма и интеграл.

Интеграл n-формы

На n-мерном ориентированном многообразии M с картой (u, φ):

∫M ω = ∫{φ(u)} f(φ⁻¹(x)) |det(∂φ⁻¹/∂x)| dx¹...dxⁿ

Определение корректно: не зависит от выбора карты (якобиан компенсирует разницу координат).

Числовой пример: Интеграл формы ω = x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy по единичной сфере S² (2-форма на 3-мерном ω — 2-форма, интегрируется по 2-мерной поверхности).

В сферических координатах: x = sin φ cos θ, y = sin φ sin θ, z = cos φ. ω становится sin φ dφ ∧ dθ · R = R (сфера единичного радиуса). ∫{S²} ω = ∫₀^π ∫₀^{2π} sin φ dφ dθ = 4π. Это согласуется с теоремой о дивергенции: ∫{S²} (r · n) dS = ∫_B div(r) dV = 3·(4π/3) = 4π ✓.

Обобщённая теорема Стокса

Теорема: Для (n−1)-формы ω на ориентированном многообразии M с краем ∂M:

∫M dω = ∫{∂M} ω

Это единственная теорема, из которой следуют все формулы интегральной векторной алгебры:

Ньютон–Лейбниц: M = [a, b], ∂M = {b} − {a}. ω = f(x). dω = f'(x) dx. ∫_a^b f'(x) dx = f(b) − f(a) ✓.

Теорема Грина: M — область D в ℝ², ∂M = ∂D. ω = P dx + Q dy. dω = (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dx ∧ dy. ∬D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA = ∮{∂D} (P dx + Q dy) ✓.

Теорема Стокса (классическая): M — поверхность S, ∂M = ∂S. ω — 1-форма (соответствует F). dω — 2-форма (ротор F). ∬S rot(F) · n dS = ∮{∂S} F · dr ✓.

Теорема Гаусса–Остроградского: M — объём V, ∂M = ∂V. ω — 2-форма (соответствует F). dω — 3-форма (дивергенция F). ∭V div(F) dV = ∬{∂V} F · n dS ✓.

Числовой пример: применение теоремы Стокса

Вычислим ∬_S rot(F) · dS для F = (y, z, x) над полусферой S: x²+y²+z²=1, z≥0, граница ∂S: x²+y²=1, z=0.

Теорема Стокса: ∬S rot(F) · dS = ∮{∂S} F · dr.

Граница ∂S — единичная окружность: r(t) = (cos t, sin t, 0), dr = (−sin t, cos t, 0) dt.

∮_{∂S} F · dr = ∫₀^{2π} (sin t, 0, cos t) · (−sin t, cos t, 0) dt = ∫₀^{2π} −sin²t dt = −π.

Вместо интегрирования по поверхности (трудно) — контурный интеграл (легко). Экономия усилий!

Степень отображения

Степень отображения deg(f) для f: M → N между компактными ориентированными многообразиями одинаковой размерности n: deg(f) = ∫_M f*ω / ∫_N ω, не зависит от выбора n-формы ω.

Топологический инвариант. Для f: S¹ → S¹: deg(f) = число оборотов (winding number). f(z) = zⁿ: deg = n.

Применение: В теории поля топологический заряд (инстантона) = степень отображения поля на пространство классов. Степень = целое число, не может меняться непрерывно → топологическая стабильность солитонов.

Теорема Стокса в физических законах сохранения

Теорема Стокса объединяет все четыре основные теоремы векторного анализа в единую формулу. В электродинамике она даёт закон Фарадея (интеграл E по контуру равен потоку производной B через поверхность), теорему Гаусса для E и B, закон Ампера с током смещения. Это делает уравнения Максвелла координатно-инвариантными и готовыми к обобщению на искривлённое пространство-время. В вычислительной механике метод граничных элементов (BEM) заменяет объёмный интеграл дифференциального уравнения на интеграл по границе, сокращая размерность задачи на единицу. Это позволяет численно решать задачи акустики, электростатики и теории упругости для тел сложной формы значительно эффективнее, чем метод конечных элементов. В гидродинамике теорема Гаусса–Остроградского связывает поток жидкости через замкнутую поверхность с дивергенцией поля скоростей — основа уравнения неразрывности. В потенциальной теории (задачи Дирихле и Неймана) формула Грина выражает значение гармонической функции внутри области через её значения на границе, что является прямым следствием теоремы Стокса и лежит в основе метода граничных интегральных уравнений. Топологические версии теоремы Стокса (в терминах когомологий) классифицируют глобальные препятствия к существованию потенциалов.

Задание: (а) Вычислите ∮∂D (x dy − y dx)/2 для квадрата [0,1]². Что это? (б) Для формы ω = x dy ∧ dz на сфере S²: вычислите ∬{S²} ω прямым интегрированием и через теорему Стокса (Гаусса). (в) Почему теорема Стокса ∫M dω = ∫{∂M} ω включает все четыре теоремы векторного анализа? Запишите схему (M, ∂M, ω) для каждой.