Группы Ли и их алгебры

Группы Ли: геометрия непрерывных симметрий

Что такое группа Ли?

Симметрии физических систем — вращения, сдвиги, калибровочные преобразования — образуют не просто группы, но непрерывные семейства преобразований. Эти объекты и называются группами Ли — гладкие многообразия с групповой структурой.

Ключевая идея Ли (1870-е): непрерывные симметрии описываются «инфинитезимальными» преобразованиями — элементами алгебры Ли. Вместо изучения всей группы (сложный нелинейный объект) изучаем её алгебру (линейное пространство!) и «восстанавливаем» группу через экспоненту.

Определение и примеры

Группа Ли — гладкое многообразие G с операциями: умножение (a,b) ↦ ab и обращение a ↦ a⁻¹, обе гладкие.

Главные примеры:

ℝⁿ (сложение) — абелева группа Ли, dim = n.

GL(n, ℝ) — невырожденные матрицы n×n, открытое подмножество M(n,ℝ) ≅ ℝ^{n²}, dim = n².

SL(n, ℝ) = {det A = 1} — гиперповерхность GL(n), dim = n²−1.

O(n) = {AᵀA = I} — ортогональные матрицы, dim = n(n−1)/2.

SO(n) = O(n) ∩ {det A = 1} — связная компонента e ∈ O(n).

U(n) = {A†A = I} — унитарные матрицы, dim = n² (над ℝ).

SU(n) = U(n) ∩ {det A = 1}, dim = n²−1.

SO(3): 3-мерное компактное многообразие — группа вращений в ℝ³. Параметризация: три угла Эйлера (φ, θ, ψ) или ось–угол (ось n̂ ∈ S², угол θ ∈ [0, π]).

SU(2) ≅ S³ — трёхмерная сфера! Элемент: U = aI + i(bσ₁ + cσ₂ + dσ₃), |a|²+|b|²+|c|²+|d|²=1. SU(2) → SO(3) — двулистное накрытие (двойное накрытие: ±U → одно вращение).

Алгебра Ли

Алгебра Ли g группы G — касательное пространство в единице: g = T_eG, dim g = dim G.

Скобка Ли [·,·]: g × g → g — определяется через коммутатор: [X, Y] = XY − YX для матричных групп. Свойства: антисимметрия [X,Y] = −[Y,X]; тождество Якоби [[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y] = 0.

Алгебры классических групп:

gl(n) = M(n, ℝ): все матрицы, [X,Y] = XY − YX.

sl(n) = {tr X = 0}: след нулевой.

so(n) = {X + Xᵀ = 0}: кососимметрические матрицы, dim = n(n−1)/2.

su(n) = {X + X† = 0, tr X = 0}: антиэрмитовы с нулевым следом.

so(3): Кососимметрические матрицы 3×3. Базис: e₁ = [[0,0,0],[0,0,−1],[0,1,0]], e₂ = [[0,0,1],[0,0,0],[−1,0,0]], e₃ = [[0,−1,0],[1,0,0],[0,0,0]]. Скобки: [e₁,e₂] = e₃, [e₂,e₃] = e₁, [e₃,e₁] = e₂ — алгебра угловых моментов!

Экспоненциальное отображение

exp: g → G, X ↦ eˣ = I + X + X²/2! + ...

Свойства: Локальный диффеоморфизм вблизи 0 ∈ g и e ∈ G. Для компактных связных групп: exp сюръективно. Однопараметрическая подгруппа: t ↦ e^{tX} (прямая через e в G).

Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа:

e^X e^Y = e^{X+Y+[X,Y]/2+([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])/12+...}

Ряд через скобки Ли. Показывает: умножение в группе ↔ скобка в алгебре.

Представления групп Ли

Представление ρ: G → GL(V) — гомоморфизм групп Ли (V — векторное пространство). Дифференциал: dρ: g → gl(V) — представление алгебры Ли.

Классификация для SO(3) / SU(2): Неприводимые конечномерные представления SU(2) параметризуются j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... (полный спин). Размерность: 2j+1. Физически: j = 0 (скаляр), j = 1/2 (спинор, электрон), j = 1 (вектор, фотон), j = 2 (гравитон).

Для SO(3): только целые j (нет спинорных представлений). Спин 1/2 — «незаконное» для SO(3) представление, законное для SU(2) → квантовая механика требует SU(2), не SO(3)!

Реальные применения

Квантовая механика: Угловой момент описывается алгеброй so(3). Лестничные операторы L± = Lx ± iLy и [Lz, L±] = ±ℏL± — это скобки su(2). Правила квантования угловых моментов — это теория представлений SU(2).

Физика элементарных частиц: Стандартная модель основана на калибровочной симметрии SU(3) × SU(2) × U(1). SU(3) — квантовая хромодинамика (цвет кварков, 8 глюонов = dim su(3) − 1 = 8). SU(2) × U(1) — электрослабое взаимодействие.

Робототехника: Группы SO(3) и SE(3) = SO(3) ⋉ ℝ³ — конфигурации жёсткого тела. Алгоритмы управления используют экспоненциальное отображение для вычисления орбит.

Группы Ли в физике и робототехнике

Группы Ли и их алгебры — рабочий инструмент теоретической физики и современной инженерии. В физике частиц Стандартная модель основана на группе калибровочных симметрий U(1) × SU(2) × SU(3): каждая группа порождает соответствующий фундаментальный тип взаимодействия (электромагнитное, слабое, сильное). Представления групп SU(2) и SU(3) классифицируют элементарные частицы: мультиплеты кварков, лептонов и бозонов определяются размерностями неприводимых представлений этих групп. В общей теории относительности группа Лоренца O(1,3) — группа Ли пространства-времени — определяет тензорную природу физических величин. В робототехнике конфигурационное пространство манипулятора с n звеньями — это произведение n копий SO(2) или SO(3), и планирование траекторий выполняется непосредственно на группах Ли с помощью экспоненциального отображения. Управление ориентацией спутника и квадрокоптера выполняется на SO(3), а не в угловых параметрах, избегая сингулярностей (гимбального замка). В компьютерном зрении группа SE(3) = SO(3) ⋉ ℝ³ описывает жёсткие преобразования тел, и калибровка камер, SLAM-алгоритмы работают с экспоненциальными картами на SE(3).

Задание: (а) SO(2) ≅ S¹: опишите алгебру Ли so(2) и экспоненциальное отображение exp: so(2) → SO(2). (б) Вычислите [X, Y] для X = [[0,1],[−1,0]] и Y = [[0,0],[1,0]] в sl(2,ℝ). (в) Почему спин 1/2 возможен только в квантовой механике (SU(2)), но не в классической (SO(3))?