Метрические пространства и полнота

Метрические пространства: полнота, сжатие и функциональные пространства

Метрика: минимальная структура для анализа

Метрическое пространство (X, d) — множество X с функцией расстояния d: X × X → ℝ≥0, удовлетворяющей: d(x,y) = 0 ↔ x = y; d(x,y) = d(y,x); d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) (неравенство треугольника).

Примеры метрик:

Евклидова: d(x,y) = |x−y| на ℝⁿ.

Такси (манхэттенская): d(x,y) = Σ|xᵢ−yᵢ| на ℝⁿ.

Дискретная: d(x,y) = 1 если x ≠ y, 0 если x = y.

Функциональная: d(f,g) = max|f(x)−g(x)| на C[a,b] — равномерная сходимость.

p-адическая: |n|_p = p^{−vₚ(n)}, где vₚ — старшинство p в разложении n. Используется в теории чисел и криптографии.

Полнота

(X, d) полно, если каждая последовательность Коши (d(xₘ, xₙ) → 0 при m,n → ∞) сходится к элементу X.

Примеры: ℝ полно (аксиома полноты). ℚ не полно: последовательность 3, 3.1, 3.14, 3.141, ... — Коши в ℚ, но сходится к π ∉ ℚ. C[a,b] с равномерной нормой полно (банахово пространство).

Пополнение: Любое метрическое пространство X вкладывается плотно в единственное полное X̄ (пополнение). Пополнение ℚ = ℝ. Пополнение C([0,1]) по L²-норме = L²([0,1]).

Принцип Бэра: Полное метрическое пространство — категории 2-й (не является счётным объединением нигде не плотных множеств). Следствие: ℝ несчётно (если бы ℝ = ∪ₙ{xₙ}, то каждое {xₙ} нигде не плотно → противоречие).

Принцип сжимающих отображений (Банах, 1922)

Теорема: Если T: X → X на полном (X, d), и d(Tx, Ty) ≤ q d(x,y) при q < 1 (сжимающее отображение), то T имеет единственную неподвижную точку x*: Tx* = x*. Итерации: xₙ₊₁ = Txₙ → x* экспоненциально (d(xₙ, x*) ≤ qⁿ d(x₀, x*)).

Доказательство: {xₙ} — последовательность Коши (оценка через q^n → 0). Предел x* = lim xₙ. Непрерывность T: Tx* = T(lim xₙ) = lim Txₙ = lim xₙ₊₁ = x*. Единственность: если Tx = x и Ty = y, то d(x,y) = d(Tx,Ty) ≤ q d(x,y) → d(x,y) = 0.

Числовые применения принципа сжатия

Теорема Пикара (ОДУ): y'(t) = f(t, y(t)), y(t₀) = y₀. Оператор Tφ = y₀ + ∫_{t₀}^t f(s, φ(s)) ds. При липшицевой f по второму аргументу: T — сжатие на C([t₀, t₀+δ]) с равномерной нормой. Неподвижная точка = решение ОДУ!

Числовой пример: y' = y, y(0) = 1. Tφ = 1 + ∫₀ᵗ φ(s) ds. Итерации: φ₀ = 1, φ₁ = 1 + t, φ₂ = 1 + t + t²/2, φ₃ = 1 + t + t²/2 + t³/6. Предел: eᵗ — ряд Тейлора сходится к единственному решению.

Метод Ньютона: Для f(x) = 0: Txₙ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ). Локально T — сжатие (q ~ 0) → квадратичная сходимость: число верных цифр удваивается на каждом шаге.

Пространства C[a,b] и Lᵖ

C[a,b] с ‖f‖∞ = max|f|: Банахово (полное нормированное) пространство. Полнота = равномерная сходимость непрерывных функций непрерывна.

C[a,b] с L²-нормой ‖f‖₂ = √∫f² dx: Не полно! Пополнение = L²[a,b] (квадратично интегрируемые по Лебегу функции). L² — гильбертово пространство (скалярное произведение ⟨f,g⟩ = ∫fg dx).

Lᵖ[a,b] = {f: ∫|f|ᵖ dx < ∞}, норма ‖f‖ₚ = (∫|f|ᵖ dx)^{1/p}: Полные (по теореме Рисса–Фишера). Дуальность: (Lᵖ)* ≅ Lq, 1/p + 1/q = 1. Неравенство Гёльдера: |∫fg| ≤ ‖f‖ₚ ‖g‖q.

Соболевские пространства Hᵏ = {f ∈ L²: D^α f ∈ L² для |α| ≤ k}: Основа современной теории ДУ. Решения ДУ ищутся в Hᵏ — «слабые решения».

Реальные приложения

Численный анализ: Метод простой итерации x_{n+1} = g(x_n) сходится ↔ g сжимает. Критерий сходимости: |g'(x*)| < 1. Метод Ньютона: g = x − f/f', g' = ff''/(f')² → при f(x*) = 0: g'(x*) = 0 → «суперлинейная» (квадратичная) сходимость.

Машинное обучение: Градиентный спуск — итерации: wₙ₊₁ = wₙ − η ∇L(wₙ). При подходящем η: сжимает → сходится. RNN (рекуррентные нейросети) — итерации оператора перехода состояний; взрывной градиент = оператор не сжимает.

Полные метрические пространства в теории дифференциальных уравнений

Полнота метрических пространств — фундаментальное свойство, обосновывающее существование и единственность решений задач математической физики. Теорема Банаха о сжимающем отображении (принцип сжимающих отображений) лежит в основе метода последовательных приближений Пикара для задачи Коши для ОДУ: при условии Липшица на правую часть итерации Пикара сходятся в полном пространстве C([0,T]) к единственному решению. Это же условие полноты C([0,T]) обеспечивает корректность численных методов Рунге–Кутты и Адамса: они аппроксимируют итерации Пикара и сходятся именно в силу полноты пространства. Пространства Соболева W^{k,p}(Ω) — пополнения C^∞(Ω) в норме, учитывающей производные до порядка k, — полны по построению. В них живут «слабые решения» эллиптических и параболических уравнений с частными производными: уравнение теплопроводности, волновое уравнение, уравнение Навье–Стокса. Лемма Лакса–Мильграма (существование и единственность слабого решения) работает именно в гильбертовых (полных) пространствах. В цифровой обработке сигналов базисы Шаудера в пространстве L²([0,1]) — ортонормированные вейвлеты Добеши — используются для сжатия изображений в стандарте JPEG 2000.

Задание: (а) Докажите, что T(x) = cos(x) на [0,1] — сжатие. Найдите неподвижную точку (решение x = cos x) методом итераций: начните с x₀ = 0.5, сделайте 4 итерации. (б) C[0,1] с ‖f‖₁ = ∫₀¹|f|dt — полно ли это пространство? Приведите пример последовательности Коши без предела в C[0,1]. (в) Пространство ℓ∞ = {(x_n)_{n≥1}: sup|x_n| < ∞} с sup-нормой — докажите, что оно полно.