Функциональный анализ

Понятие «расстояние» встречается повсюду: расстояние между точками плоскости, между функциями (насколько похожи две кривые?), между строками (сколько замен нужно, чтобы превратить одно слово в другое?). Метрическое пространство — минимальная абстракция, фиксирующая аксиомы расстояния и позволяюща...

Метрическое пространство (X, d): множество X с функцией метрикой d: X×X → ℝ₊, удовлетворяющей: 1. Положительность: d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0 ⟺ x = y. 2. Симметрия: d(x,y) = d(y,x). 3. Неравенство треугольника: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Аксиомы минимальны: из них выводится всё, что нужно для анализа — сходимость, непрерывность, компактность. Понятия «окрестность», «открытое множество», «замкнутое множество» переносятся дословно.

Lᵖ[a,b]: измеримые функции с ∫|f|ᵖ < ∞; функции, совпадающие почти всюду, отождествляются.

Метрическое пространство — «голое» расстояние. Нормированное пространство добавляет линейную структуру: можно складывать элементы и умножать на скаляры, и норма согласована с этими операциями. Пространства Банаха — полные нормированные пространства — основной объект функционального анализа и числ...

Норма ‖·‖: V → ℝ на векторном пространстве V (над ℝ или ℂ): 1. ‖x‖ ≥ 0; ‖x‖ = 0 ⟺ x = 0. 2. ‖αx‖ = |α|·‖x‖ (однородность). 3. ‖x+y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (неравенство треугольника).

Эквивалентность норм: ‖·‖_a ≈ ‖·‖_b если ∃C₁,C₂: C₁‖x‖_a ≤ ‖x‖_b ≤ C₂‖x‖_a. В конечномерных пространствах все нормы эквивалентны. В бесконечномерных — нет.

Примеры: (ℝⁿ, ‖·‖_p), (lᵖ, ‖·‖_p), (C[a,b], ‖·‖_∞), (Lᵖ[a,b], ‖·‖_p) при p ∈ [1,∞].

Определения

Теорема Гейне–Бореля: В ℝⁿ: K компактно ⟺ K замкнуто и ограничено. В бесконечномерных — неверно

— замкнутый единичный шар l² — замкнут и ограничен, но не компактен.

Линейный оператор T: X→Y

— T(αx+βy) = αTx+βTy. Для линейного оператора эквивалентны:

В конечномерных пространствах замкнутый и ограниченный шар компактен. В бесконечномерных — нет: ортонормированная последовательность eₙ в l² не имеет сходящейся подпоследовательности. Компактные операторы — «промежуточный класс»: они переводят бесконечномерные шары в предкомпактные множества. Это...

Компактное множество K: из любой последовательности в K можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к точке в K (секвенциальная компактность).

Критерий Хаусдорфа: K компактно ⟺ K полно и вполне ограничено (для каждого ε > 0 существует конечная ε-сеть: K ⊆ ∪_{a∈A} B(a,ε), |A| < ∞).

Теорема Гейне–Бореля: В ℝⁿ: K компактно ⟺ K замкнуто и ограничено. В бесконечномерных — неверно: замкнутый единичный шар l² — замкнут и ограничен, но не компактен.

Гильбертово пространство — это «бесконечномерный аналог евклидова пространства». Здесь есть скалярное произведение, угол между элементами, ортогональность и ортогональные проекции. Квантовая механика: состояния системы — элементы H = L²(ℝ³); операторы — наблюдаемые. Анализ сигналов: разложение по...

Предгильбертово пространство (H, ⟨·,·⟩): векторное пространство с функцией ⟨·,·⟩: H×H → ℝ: 1. Линейность по первому аргументу: ⟨αx+βy, z⟩ = α⟨x,z⟩ + β⟨y,z⟩. 2. Симметрия: ⟨x,y⟩ = ⟨y,x⟩. 3. Положительная определённость: ⟨x,x⟩ ≥ 0; ⟨x,x⟩ = 0 ⟺ x = 0.

Неравенство Коши–Шварца: |⟨x,y⟩| ≤ ‖x‖·‖y‖. Равенство ⟺ x и y линейно зависимы.

Правило параллелограмма: ‖x+y‖² + ‖x−y‖² = 2(‖x‖² + ‖y‖²). Характеризует пространства с ⟨·,·⟩.

В ℝⁿ любой вектор разлагается по ортонормированному базису: x = Σ⟨x,eᵢ⟩eᵢ. В бесконечномерном пространстве аналог — разложение по полной ортонормированной системе. Это обобщает ряды Фурье, лежит в основе вейвлетного анализа и спектральных методов.

Коэффициенты Фурье: cₙ = ⟨x, eₙ⟩. Частичные суммы Sₙx = Σₖ₌₁ⁿ cₖeₖ — наилучшая аппроксимация x в span{e₁,...,eₙ}.

Все сепарабельные гильбертовы пространства имеют счётный ортонормированный базис.

Тригонометрический базис: eₙ(x) = (1/√2π)·eⁱⁿˣ, n ∈ ℤ. Полный ортонормированный базис L²[−π,π].

Линейный функционал f: X → ℝ — это «измерение» элементов: он приписывает каждому элементу число линейным образом. Двойственное пространство X* содержит все ограниченные (непрерывные) линейные функционалы. Теорема Хана–Банаха — «инструмент продолжения»: любое частичное измерение можно расширить на...

Аналитическая форма: Пусть M — подпространство нормированного X, f — ограниченный линейный функционал на M. Тогда существует F ∈ X* с F|_M = f и ‖F‖_{X*} = ‖f‖_M.

Геометрическая форма: Два непересекающихся выпуклых множества (одно открытое) разделяются гиперплоскостью {x : F(x) = c} для некоторого F ∈ X*, c ∈ ℝ.

Следствия: 1. Для x₀ ≠ 0: ∃F ∈ X*: F(x₀) = ‖x₀‖, ‖F‖ = 1. 2. ‖x‖ = sup_{F∈X*, ‖F‖=1} |F(x)| — двойственное представление нормы. 3. X разделяет функционалы: x ≠ y ⟹ ∃F: F(x) ≠ F(y).

В матричной алгебре спектр матрицы — её собственные значения. В бесконечномерных пространствах понятие богаче: спектр может быть непрерывным (оператор умножения), точечным (собственные значения) или остаточным. Спектральная теория — язык квантовой механики: наблюдаемым соответствуют самосопряжённ...

Резольвентное множество ρ(T): λ ∈ ρ(T), если (T−λI)⁻¹ существует как ограниченный оператор на всём X.

Оператор умножения: T: L²[a,b]→L²[b], Tf = g·f. σ(T) = замыкание образа g. σₚ(T) = ∅ (нет собственных значений) — непрерывный спектр.

Оператор сдвига: T: l²→l², T(x₁,x₂,...) = (0,x₁,x₂,...). σₚ = ∅, σ_r = открытый единичный круг, σ_c = единичная окружность.

Многие задачи физики — рассеяние волн, теплоперенос, электростатика — сводятся к интегральным уравнениям вида x(t) − λ∫K(t,s)x(s)ds = f(t). Интегральный оператор K компактен. Теория Фредгольма — прямое обобщение теории систем линейных уравнений на бесконечные измерения.

Компактный оператор K: X → Y: ограничен и переводит ограниченные множества в предкомпактные. Эквивалентно: из ограниченной последовательности {xₙ} можно выделить подпоследовательность, образ которой сходится.

Классы: Операторы конечного ранга (dim Im K < ∞); операторы Гильберта–Шмидта: Kf(t) = ∫K(t,s)f(s)ds с ∫∫|K(t,s)|²ds dt < ∞.

Свойства: состав ограниченного и компактного — компактен; предел по норме компактных — компактен; компактный K переводит слабо сходящиеся в сильно сходящиеся.

Уравнение теплопроводности du/dt = Δu, уравнение Шрёдингера iℏ∂ψ/∂t = Hψ, уравнения диффузии — все имеют форму du/dt = Au. Решение — «экспонента от оператора»: u(t) = e^{tA}u₀. Теория полугрупп делает эту идею строгой и даёт критерии существования e^{tA} для неограниченных операторов A.

C₀-полугруппа: семейство {T(t)}_{t≥0} ограниченных операторов X→X: 1. T(0) = I. 2. T(t+s) = T(t)T(s) — полугрупповое свойство. 3. lim_{t→0⁺} ‖T(t)x − x‖ = 0 для всех x ∈ X — сильная непрерывность.

Инфинитезимальный генератор: Ax = lim_{h→0⁺} (T(h)x − x)/h. D(A) = {x : предел существует} — область генератора.

Теорема: A — генератор C₀-полугруппы с ‖T(t)‖ ≤ Meωt ⟺: 1. A замкнут, D(A) плотно в X. 2. Для λ > ω: (λI−A)⁻¹ существует и ‖(λI−A)^{-n}‖ ≤ M/(λ−ω)ⁿ.

Классические производные требуют гладкости. Но задачи механики и физики имеют решения с разрывами: нагрузка со скачком создаёт «кинк» в прогибе балки. Пространства Соболева расширяют понятие производной до L²-функций через формулу интегрирования по частям. Это язык теории слабых решений ДУ и мето...

Мотивация: Для u ∈ C¹ и φ ∈ C₀^∞: ∫ u'·φ dx = −∫ u·φ' dx. Если u не гладкая, определяем слабую производную v как функцию из L¹, такую что:

W^{k,p}(Ω): функции u ∈ Lᵖ(Ω), все слабые производные D^α u (|α| ≤ k) тоже в Lᵖ. Норма: ‖u‖_{W^{k,p}} = (Σ_{|α|≤k} ‖D^α u‖_p^p)^{1/p}.

H₀^k(Ω): замыкание C₀^∞(Ω) в H^k. Функции из H₀¹ удовлетворяют нулевым граничным условиям.

Определения

Матрица жёсткости: Kᵢⱼ = ∫_Ω ∇φᵢ·∇φⱼ dx. Разрежена

— Kᵢⱼ ≠ 0 только для соседних узлов. Число ненулевых элементов O(N) при N = dim(Vₕ) → эффективные итерационные решатели.

Теорема Лакс–Мильграма гарантирует существование и единственность слабого решения. Метод Галёркина аппроксимирует бесконечномерную задачу конечномерной: выбирается конечномерное подпространство Vₕ ⊂ V. Метод конечных элементов (МКЭ) — конкретная реализация: разбить область на элементы (треугольни...

Базис {φ₁,...,φₙ}. Разложение uₕ = Σⱼ uⱼφⱼ. Подстановка даёт линейную систему Ku = f:

Теорема Сеа: ‖u − uₕ‖_V ≤ (M/α)·inf_{vₕ∈Vₕ} ‖u − vₕ‖_V. Галёркинская аппроксимация — наилучшая с точностью до константы M/α.

Оценка ошибки МКЭ P1: ‖u − uₕ‖_{H¹} ≤ C·h·‖u‖_{H²}, где h — размер элемента. Чем мельче сетка, тем точнее.

Классическая оптимизация минимизирует функцию на ℝⁿ. Бесконечномерная оптимизация минимизирует функционал J: H → ℝ — «функцию от функции». Нахождение оптимальной траектории, минимизация длины кривой, обратные задачи восстановления сигнала — всё это бесконечномерная оптимизация. Она объединяет вар...

Выпуклый функционал J: H → ℝ: J(λu + (1−λ)v) ≤ λJ(u) + (1−λ)J(v) при λ ∈ [0,1].

Теорема существования: Если J выпуклый, нижнеполунепрерывный (НПН: lim inf J(uₙ) ≥ J(u) при uₙ ⇀ u) и коэрцитивный (J(u) → +∞ при ‖u‖ → ∞), то min достигается. При строгой выпуклости — единственность.

Производная Фреше: J'(u) ∈ H* такой, что J(u+h) = J(u) + J'(u)(h) + o(‖h‖). В гильбертовом пространстве: J'(u) ≡ ∇J(u) ∈ H через теорему Рисса.

Преобразование Фурье превращает любой сигнал в суперпозицию синусоид разных частот. Для ДУ это золото: дифференцирование ↦ умножение на частоту; свёртка ↦ поточечное умножение. Теорема Планшереля: Фурье — унитарный (изометрический) оператор на L²(ℝ), «энергия сигнала» = «суммарная мощность гармон...

Ограниченность: |f̂(ξ)| ≤ ‖f‖_{L¹}. Лемма Римана–Лебега: f̂(ξ) → 0 при |ξ| → ∞.

Теорема: Преобразование Фурье продолжается до изометрического изоморфизма ℱ: L²(ℝ) → L²(ℝ): ‖f̂‖_{L²} = ‖f‖_{L²}.

FFT (Кули–Тьюки, 1965): дискретный аналог за O(N log N) вместо O(N²). Основа цифровой обработки сигналов: аудио (MP3), видео (H.264), радар.

Физики давно использовали «дельта-функцию» Дирака δ(x): бесконечная в точке 0, нулевая всюду, с ∫δ(x)dx = 1. Классически такого объекта нет. Шварц в 1945–50 построил теорию распределений — делающую δ(x) строгим объектом. Ключевое свойство: любое распределение бесконечно дифференцируемо! Это даёт ...

D(Ω) = C₀^∞(Ω): бесконечно дифференцируемые функции с компактным носителем. Топология: φₙ → φ — носители в одном K, D^α φₙ ⇒ D^α φ равномерно для всех α.

Пространство Шварца S(ℝⁿ): быстро убывающие функции: sup_x |x^β D^α φ| < ∞ для всех α,β. D ⊂ S.

Распределение T ∈ D'(Ω): линейный непрерывный функционал на D. ⟨T, φ⟩ = T(φ).

Фурье-анализ «видит» частоты глобально: разрыв в одной точке «размазывается» по всем коэффициентам. Вейвлеты — «микроскоп с регулируемым увеличением»: анализируют сигнал локально по времени и масштабу. Высокие частоты — короткие вейвлеты (хорошее временное разрешение); низкие — длинные (хорошее ч...

Принцип неопределённости Гейзенберга: σ_t·σ_ω ≥ 1/(4π), где σ_t, σ_ω — среднеквадратичные отклонения f(t) и f̂(ω). Нельзя одновременно иметь хорошее временное и частотное разрешение.

Оконное Фурье (STFT): f(t)·g(t−τ) → Фурье. Фиксированное окно g → одинаковое разрешение для всех частот. Это неоптимально для сигналов с переменной частотой.

Вейвлеты: адаптируют размер окна к масштабу. Высокие частоты — узкий вейвлет (точная локализация во времени). Низкие — широкий (точная локализация по частоте).