Основы теории игр: игроки, стратегии, выигрыши

Когда ваш успех зависит от чужих решений

Большинство жизненных задач решаются в одиночку: сколько учиться, как распределить бюджет, когда лечь спать. Но целый класс решений принципиально отличается — их результат зависит не только от ваших действий, но и от действий других людей. Водитель на дороге, компания при назначении цен, страна на международных переговорах, стартап на конкурентном рынке — все они находятся в стратегическом взаимодействии.

Теория игр — математическая наука о принятии решений в ситуациях взаимозависимости. Основы заложили Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн в книге «Теория игр и экономическое поведение» (1944). Джон Нэш в 1950 году предложил концепцию равновесия, а в 1994 году получил за это Нобелевскую премию по экономике.

Формальное определение стратегической игры

Стратегическая игра в нормальной форме задаётся тремя компонентами:

• N — конечное множество игроков {1, 2, ..., n}
• Sᵢ — множество стратегий игрока i; стратегический профиль S = S₁ × S₂ × ... × Sₙ
• uᵢ: S → ℝ — функция выигрыша каждого игрока i

Каждый игрок i выбирает стратегию sᵢ ∈ Sᵢ, и его выигрыш uᵢ(s₁, s₂, ..., sₙ) зависит от стратегий всех участников. Игрок стремится максимизировать свой выигрыш, зная, что остальные делают то же самое.

Классификация игр

По сумме выигрышей: игры с нулевой суммой — выигрыш одного равен проигрышу другого (шахматы, покер); игры с ненулевой суммой — возможен взаимный выигрыш или проигрыш (переговоры, торговля).

По информации: полная информация — каждый знает функции выигрыша всех; неполная — тип или выигрыши соперника неизвестны.

По времени: статические (одновременный выбор) и динамические (последовательный).

Знаковые примеры с матрицами выигрышей

Дилемма заключённого — самый известный пример. Два подозреваемых в разных камерах. Каждый может Молчать (М) или Предать (П). Выигрыши в годах заключения (отрицательные: меньше — лучше):

Чтение матрицы: в клетке (строка, столбец) указаны выигрыши (Игрок 1, Игрок 2). Например, если П1 молчит, а П2 предаёт: П1 получает −5 лет, П2 освобождается (0 лет).

Для Игрока 1: независимо от действия П2, «Предать» лучше: если П2 молчит (0 > −1); если П2 предаёт (−3 > −5). «Предать» — строго доминирующая стратегия. По той же логике и для П2. Равновесие: (Предать, Предать) → оба получают −3 года, хотя (Молчать, Молчать) дало бы −1 каждому. Центральный парадокс: индивидуальная рациональность ведёт к коллективно нерациональному исходу.

Игра «Куриная» (Chicken): два водителя мчатся навстречу. Свернуть = потерять лицо («курица»). Не сворачивать = риск катастрофы.

Здесь два равновесия Нэша в чистых стратегиях: (Свернуть, Не сворачивать) и (Не сворачивать, Свернуть). Кто сдастся? Ответ зависит от репутации, истории и т.д.

Стратегии: чистые и смешанные

Чистая стратегия — детерминированный выбор одного действия. Например, «всегда играть Камень».

Смешанная стратегия σᵢ — вероятностное распределение над чистыми стратегиями. Пример: σᵢ = (1/3, 1/3, 1/3) означает равновероятный выбор Камня, Ножниц, Бумаги.

Ожидаемый выигрыш при смешанных стратегиях: uᵢ(σ) = Σₛ [∏ⱼ σⱼ(sⱼ)] · uᵢ(s)

Введение смешанных стратегий принципиально расширяет анализ: теорема Нэша гарантирует существование равновесия в смешанных стратегиях для любой конечной игры.

Числовой пример: Камень–Ножницы–Бумага

Матрица выигрышей (Игрок 1, Игрок 2), К=Камень, Н=Ножницы, Б=Бумага:

В чистых стратегиях равновесия Нэша нет: для любого фиксированного действия соперника найдётся лучший ответ, но на него тоже найдётся лучший ответ — цикл.

Равновесие в смешанных: σ* = (1/3, 1/3, 1/3) для каждого игрока. Проверка: при σ₂ = (1/3,1/3,1/3) ожидаемый выигрыш от К = 0·(1/3) + 1·(1/3) + (−1)·(1/3) = 0, и то же для Н и Б — игроку безразлично, что выбрать. Значит, σ* действительно равновесие.

Приложения теории игр

Экономика: олигополия (Курно, Бертран), аукционы, международная торговля. Биология: эволюционная устойчивость, альтруизм и родственный отбор. Информатика: алгоритмическая теория игр, безопасность (attacker–defender). Политология: выборы, международные переговоры, ядерное сдерживание. Социология: коллективные действия, возникновение норм.

Теория игр в стратегическом менеджменте и государственном управлении

Теория игр стала стандартным инструментом стратегического консалтинга и государственного регулирования. Метод «пяти сил Портера» неявно описывает конкурентное равновесие в отрасли: интенсивность конкуренции, переговорная сила покупателей и поставщиков, угроза субститутов — всё это параметры многосторонней игры. BCG и McKinsey применяют теоретико-игровые модели при анализе ценовых войн, слияний и поглощений, реакций конкурентов на стратегические инициативы. В государственном управлении регуляторы используют концепции доминирования и равновесия для оценки последствий антимонопольных мер: если слияние двух крупных игроков изменяет равновесие рынка от Бертрана к Курно, цены вырастут даже без явного сговора. Теория игр в международных переговорах описывает дипломатические торги как многошаговые игры с неполной информацией: стороны сигнализируют о своих интересах через поведение, а не только через декларации. Нобелевская премия по экономике присуждалась за теорию игр трижды (1994 — Нэш, Харсани, Зелтен; 2005 — Ауман, Шеллинг; 2012 — Рот, Шепли), что отражает её центральную роль в современной экономической науке.

Задание: Запишите в матричной форме игру «Охота на оленя» (Stag Hunt): два охотника могут совместно охотиться на оленя (выигрыш 4 каждому) или по одиночке на зайца (выигрыш 1 каждому). Если один охотится на оленя в одиночку — 0. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях. Объясните, почему обе координации возможны, хотя одна «лучше» другой.