Рассел и парадоксы: кризис оснований математики

Математика на зыбкой почве

В конце XIX века математики думали, что нашли твёрдый фундамент для всей математики через теорию множеств Кантора. Затем в 1902 году молодой Бертран Рассел написал письмо Готлобу Фреге, работавшему над «Основаниями арифметики»: в самом фундаменте системы Фреге содержится противоречие.

Парадокс Рассела: рассмотрим множество всех множеств, которые не являются элементами самих себя. Является ли это множество элементом самого себя? Если да — оно не должно быть в множестве. Если нет — оно должно там быть. Это логическое противоречие разрушило систему Фреге. Фреге, получив письмо Рассела, написал: «Самое горькое, что может случиться с научным автором, — это обнаружить опровержение своей работы после её завершения». Он был раздавлен.

Теория типов и «Principia Mathematica»

Рассел предложил решение — теорию типов: запрет на самореференцию через иерархию уровней. Высказывания об объектах — одного типа, высказывания о высказываниях — другого типа. Тогда «множество всех множеств» просто запрещено конструировать.

С Уайтхедом он написал «Principia Mathematica» (1910–1913) — три тома, логически выводящих математику из логики. Доказательство того, что 1+1=2, занимает сотни страниц и содержится в Томе 2. Это была грандиозная попытка — и она показала, насколько сложна «очевидная» математика.

Программа Гильберта: можно ли формализовать всю математику, доказав её полноту (каждое истинное утверждение доказуемо) и непротиворечивость (никакое противоречие недоказуемо)? Это казалось достижимой целью — пока в 1931 году Гёдель не показал, что это невозможно.

Вопрос для размышления: Парадокс Рассела показал, что самоочевидная основа рушится под анализом. Какие «самоочевидные» основания вашей профессиональной области или организации могут содержать скрытые противоречия?