Теория потребителя: функции полезности и спрос

Теория потребителя — математическая основа микроэкономики. Она объясняет, как рациональный агент выбирает потребительский набор, максимизируя полезность при бюджетном ограничении. Эта теория даёт инструменты для анализа изменений спроса, оценки эффектов государственной политики и благосостояния.

Задача потребителя

Потребитель выбирает вектор товаров x = (x₁,...,xₗ) ∈ ℝᴸ₊, максимизируя полезность u(x) при бюджетном ограничении. Формально:

max_{x∈ℝᴸ₊} u(x) при p·x ≤ m

Здесь p = (p₁,...,pₗ) — вектор цен, m — денежный доход. Ограничение p·x ≤ m — «бюджетная гиперплоскость» в ℝᴸ.

Предположения о предпочтениях:

• Полнота: для любых x, y: x ≿ y или y ≿ x
• Транзитивность: x ≿ y и y ≿ z → x ≿ z
• Непрерывность: гарантирует существование функции полезности
• Строгая монотонность: «больше лучше» — ∂u/∂xₗ > 0
• Строгая выпуклость предпочтений: смеси предпочтительнее крайностей

Маршаллианский спрос: xˡ(p, m) — решение задачи потребителя. Свойства: (1) однородная нулевой степени: x(tp, tm) = x(p, m) — нет «денежной иллюзии»; (2) тождество Вальраса: p·x(p,m) = m (всё тратится).

Конкретные функции полезности

Кобб-Дуглас: u(x₁, x₂) = x₁ᵅ x₂^β. Спрос: x₁* = αm/((α+β)p₁), x₂* = βm/((α+β)p₂). Доли расходов постоянны: p₁x₁/m = α/(α+β) — независимо от цен. Эластичность замещения = 1.

Линейные (совершенные заменители): u = ax₁ + bx₂. Угловое решение: если a/p₁ > b/p₂ → x₁* = m/p₁, x₂* = 0. Потребитель покупает только более «выгодный» товар.

Леонтьева (совершенные дополнители): u = min(x₁/a, x₂/b). Оптимум: x₁*/a = x₂*/b (потребляются в фиксированном соотношении). Спрос: x₁* = am/(ap₁ + bp₂), x₂* = bm/(ap₁ + bp₂).

CES (постоянная эластичность замещения): u = [αx₁^{-ρ} + (1-α)x₂^{-ρ}]^{-1/ρ}. Эластичность замещения σ = 1/(1+ρ). ρ → 0: Кобб-Дуглас (σ=1). ρ → ∞: Леонтьев (σ=0). ρ → -1: линейная (σ→∞).

Двойственность и функция расходов

Хиксианский спрос: двойственная задача — минимизировать расходы при фиксированном уровне полезности:

min_{x} p·x при u(x) ≥ ū → h(p, ū) (компенсированный спрос)

Функция расходов: e(p, ū) = p·h(p, ū) — минимальные расходы для достижения ū.

Лемма Шепарда: ∂e(p, ū)/∂pₗ = hₗ(p, ū) — производная расходов по цене = хиксианский спрос. Вытекает из огибающей теоремы.

Уравнение Слуцкого: связывает маршаллианский и хиксианский спрос:

∂xₗ/∂pₖ = ∂hₗ/∂pₖ − xₖ · ∂xₗ/∂m

Расшифровка: изменение маршаллианского спроса при изменении цены = эффект замещения (∂hₗ/∂pₖ, всегда ≤ 0 при l=k) + эффект дохода (−xₖ · ∂xₗ/∂m). Гиффен-товар: ∂xₗ/∂pₗ > 0 — возможно только при сильном положительном эффекте дохода (товар ниже Гиффена, нормальный товар не может быть Гиффеном).

Численный пример

u(x₁, x₂) = x₁^{0.5} x₂^{0.5}, m = 100, p₁ = 2, p₂ = 5.

Маршаллианский спрос: x₁* = 0.5·100/2 = 25, x₂* = 0.5·100/5 = 10.

Расходы: 2·25 + 5·10 = 50 + 50 = 100 ✓.

Теперь p₁ вырастает до 4. Новый спрос: x₁** = 0.5·100/4 = 12.5. Снижение на 12.5 единиц. Эффект замещения (хиксианский): нужно найти e(p', ū*), где ū* = 25^{0.5}·10^{0.5} = √250 ≈ 15.81. При p₁=4: h₁ = ū*·(p₂/p₁)^{0.5}/(2^{0.5}) = 15.81·(5/4)^{0.5}/√2 ≈ 13.98. Эффект замещения: 13.98 − 25 = −11.02. Эффект дохода: 12.5 − 13.98 = −1.48.

Применения теории

Оценка потребительских излишков при налоговой политике. Анализ систем льгот (субсидии vs денежные выплаты). Эконометрические оценки систем спроса (AIDS-модель). Благосостоятельный анализ: CV и EV изменения цен.

Задание: Потребитель с u(x₁,x₂) = x₁^{0.4}x₂^{0.6}, m=200, p₁=4, p₂=5. (1) Найдите маршаллианский спрос. (2) Вычислите косвенную функцию полезности V(p,m). (3) Вычислите e(p,ū) через лемму Шепарда. (4) При снижении p₁ до 2: декомпозируйте изменение спроса на x₁ на эффект замещения и дохода (уравнение Слуцкого). Какой эффект больше?