Стохастическое исчисление Ито и формула Блэка-Шоулза

Финансовая математика в непрерывном времени строится на стохастическом исчислении Ито. Формула Блэка-Шоулза-Мертона (1973) — первый аналитический результат для ценообразования деривативов — принесла Нобелевскую премию 1997 года и изменила финансовую индустрию.

Броуновское движение и процессы Ито

Стандартное броуновское движение (Винеровский процесс) W_t: Четыре свойства: W₀ = 0, траектории непрерывны, приращения независимы (W_t − W_s ⊥ W_s − W₀ при 0 ≤ s < t), приращения нормальны: W_t − W_s ~ N(0, t−s).

Ключевое соотношение: (dW_t)² = dt (в смысле сходимости по вероятности). Это отличает стохастическое исчисление от детерминированного: «квадрат бесконечно малого» не исчезает.

Процесс Ито: dX_t = μ(X_t, t)dt + σ(X_t, t)dW_t. μ — дрейф (детерминированная компонента), σ — диффузия (случайная компонента). Примеры: Геометрическое броуновское движение (GBM): dS = μS dt + σS dW — модель цены акции. CIR-процесс: dr = κ(θ−r)dt + σ√r dW — модель короткой ставки (всегда положительна).

Лемма Ито: Для дважды дифференцируемой функции f(X_t, t):

df = (∂f/∂t + μ·∂f/∂X + σ²/2·∂²f/∂X²)dt + σ·∂f/∂X dW_t

Ключевой момент: второй порядок σ²/2·∂²f/∂X² входит в дрейф через (dW)² = dt. Детерминированное исчисление: df = (∂f/∂t + μ·∂f/∂X)dt — нет второго порядка. Стохастическое: поправка Ито компенсирует нелинейность.

Пример: f(S) = ln S. df = (−σ²/2)dt + σ dW → ln S_T = ln S₀ + (μ−σ²/2)T + σW_T → S_T = S₀ exp((μ−σ²/2)T + σW_T) — формула для GBM.

Вывод уравнения Блэка-Шоулза

Модель: dS = μS dt + σS dW. V(S, t) — цена европейского опциона.

Стратегия дельта-хеджирования: Портфель Π = V − Δ·S (длинный опцион, короткая позиция Δ акций). По лемме Ито: dΠ = dV − Δ dS = (∂V/∂t + μS·∂V/∂S + σ²S²/2·∂²V/∂S²)dt + σS·∂V/∂S dW − Δ(μS dt + σS dW). При Δ = ∂V/∂S (дельта): случайные члены (dW) исчезают → dΠ — детерминированный. Нет-арбитраж: dΠ = r·Π·dt.

Уравнение Блэка-Шоулза:

∂V/∂t + rS·∂V/∂S + σ²S²/2·∂²V/∂S² − rV = 0

Аналитическое решение (европейский колл):

C₀ = S₀N(d₁) − Ke^{−rT}N(d₂) d₁ = [ln(S₀/K) + (r + σ²/2)T]/(σ√T), d₂ = d₁ − σ√T

Расшифровка: N(d₂) — (риск-нейтральная) вероятность исполнения опциона. N(d₁) — дельта-хедж. Ke^{−rT}N(d₂) — приведённая стоимость уплачиваемого страйка. S₀N(d₁) — приведённая стоимость получаемой акции (при исполнении).

Греки опционов

Δ (дельта) = ∂C/∂S = N(d₁): чувствительность к цене базового актива. При S → K (at-the-money): Δ ≈ 0.5. Интерпретация: на каждые +1 руб. роста S опцион растёт на Δ руб. Дельта-нейтральный портфель: убираем зависимость от направления рынка.

Γ (гамма) = ∂²C/∂S² = N'(d₁)/(Sσ√T): «ускорение» — насколько быстро меняется Δ при изменении S. Высокая Γ → нестабильная дельта → частое ребалансирование. Максимальна at-the-money.

Θ (тета) = ∂C/∂t < 0: «временной распад» — опцион теряет стоимость с течением времени при прочих равных. Всегда отрицательна для long position (время работает против покупателя опциона).

Vega = ∂C/∂σ = S₀N'(d₁)√T: чувствительность к волатильности. Рост σ → рост стоимости опциона (больше шанс оказаться in-the-money). «Торговля волатильностью» — отдельная стратегия.

Численный пример

S₀ = 100, K = 100, T = 0.5, r = 5%, σ = 20%.

d₁ = [ln(1) + (0.05 + 0.02)·0.5]/(0.2·√0.5) = [0 + 0.035]/0.1414 = 0.2475. d₂ = 0.2475 − 0.1414 = 0.1061.

N(0.2475) ≈ 0.5977, N(0.1061) ≈ 0.5423. C₀ = 100·0.5977 − 100·e^{−0.025}·0.5423 = 59.77 − 52.99 = 6.78.

Δ = 0.5977. Γ = N'(0.2475)/(100·0.2·0.7071) = 0.388/14.14 ≈ 0.0274. Vega = 100·0.388·0.7071 ≈ 27.4 (рост σ на 1% → рост цены на 0.274).

Задание: S₀=100, K=100, T=0.5, r=5%, σ=20%. (1) Вычислите C₀ по BS. (2) Найдите Δ, Γ, Vega. (3) Если σ_impl=25% — как изменится цена? (4) Постройте стратегию дельта-хеджирования: купите 1 опцион, продайте Δ акций. Через 1 день S=102: вычислите новый Δ, ребалансируйте. Какова P&L позиции? (5) Реализуйте расчёт BS в Python для сетки S ∈ [80,120], постройте профиль цены и всех греков.