Портфельная теория и CAPM

Современная портфельная теория (Марковиц, 1952) и CAPM (Шарп, Линтнер, Моссин, 1964–66) — два краеугольных камня количественных финансов, создавших индустрию пассивного инвестирования. Нобелевские премии Марковица и Шарпа (1990) признали их фундаментальную роль.

Эффективная граница Марковица

Задача: min_w wᵀΣw при wᵀμ = μ₀, wᵀ1 = 1. n активов, ожидаемые доходности μ, матрица ковариаций Σ. Условия KKT: w* = λΣ⁻¹μ + γΣ⁻¹1 — параметрическое семейство. Эффективная граница: параметрическая кривая (σₚ(w*), μₚ(w*)) — парабола в (σ,μ)-пространстве.

Теорема двух фондов: Все эффективные портфели — линейные комбинации любых двух точек на эффективной границе. Практически: нет необходимости перебирать все n активов — достаточно двух базовых портфелей.

Тангенциальный портфель при безрисковом r: T = Σ⁻¹(μ − r·1)/cᵀΣ⁻¹(μ − r·1) — максимизирует коэффициент Шарпа SR = (μ_p − r)/σ_p. Рыночная линия капитала (CML): μ_p = r + SR·σ_p.

Диверсификация: n активов с σᵢ² = σ², корреляцией ρ между всеми парами:

σ²_ew = σ²/n + ρσ²(1 − 1/n) → ρσ² при n → ∞

Несистематический риск σ²/n → 0 (диверсифицируется). Систематический ρσ² остаётся. При ρ = 0.3, σ = 20%: σ_ew при n=1: 20%, n=10: 14%, n=100: 11%, n→∞: 10.95%.

CAPM

Равновесие при однородных ожиданиях: Все инвесторы — рационально-марковицевы, видят одинаковые μ и Σ. Равновесие: T = рыночный портфель M (взвешенный по капитализации). Ценовое соотношение:

E[Rᵢ] = r + βᵢ(E[Rₘ] − r), βᵢ = Cov(Rᵢ, Rₘ)/Var(Rₘ)

Интерпретация β: βᵢ = 1: актив движется с рынком (нейтральный). βᵢ > 1: «агрессивный» — усиливает рыночные движения (рост/падение сильнее рынка). βᵢ < 0: «хедж» — противодвижение (золото в кризис). Только β вознаграждается премией — идиосинкратический риск диверсифицируется бесплатно.

Тест CAPM (Fama-MacBeth, 1973): Двухшаговая регрессия. Шаг 1: для каждой акции i оцениваем βᵢ за прошлый период. Шаг 2: поперечная регрессия доходности на β: μᵢ = λ₀ + λ₁βᵢ + εᵢ. CAPM предсказывает: λ₀ = r, λ₁ = E[Rₘ] − r. Результат: наклон λ₁ значимо ниже предсказания — «flat SML». Аномалии отсутствуют в теории, присутствуют в данных.

Аномалии и многофакторные модели

Аномалии CAPM: Momentum (Jegadeesh-Titman, 1993): прошлые «победители» продолжают переигрывать 3–12 месяцев. Size effect (Banz, 1981): малые компании генерируют избыточную доходность vs CAPM. Value effect: высокий B/P (book-to-price) → выше доходность.

Три-фактор Fama-French (1993):

E[Rᵢ] − r = βᵢ(E[Rₘ] − r) + sᵢ·E[SMB] + hᵢ·E[HML]

SMB = Small Minus Big (доходность малых − больших компаний). HML = High Minus Low (B/P высокий − низкий). Модель объясняет ~90% поперечной вариации портфелей (vs ~70% CAPM).

Пять-фактор FF (2015): +RMW (Robust Minus Weak profitability), +CMA (Conservative Minus Aggressive investment). Покрывает большинство аномалий, кроме momentum.

Q-factor model (Hou, Xue, Zhang, 2015): Основан на теории инвестиций (investment CAPM). Факторы: рыночный, размер, инвестиции, прибыльность. Объясняет 161 из 447 аномалий литературы.

Численный пример

Три актива: μ = (10%, 15%, 12%), σ = (20%, 30%, 25%), ρ₁₂ = 0.4, ρ₁₃ = 0.2, ρ₂₃ = 0.3, r = 5%.

Матрица Σ: σ₁₂ = 0.4·0.2·0.3 = 0.024, σ₁₃ = 0.2·0.2·0.25 = 0.01, σ₂₃ = 0.3·0.3·0.25 = 0.0225. Числовой расчёт: Σ⁻¹ ... (3×3 инверсия). Тангенциальный портфель: w ≈ (0.28, 0.52, 0.20). μ_T ≈ 13.1%, σ_T ≈ 22.4%. SR ≈ 0.362.

Бета активов относительно T: β₁ = Cov(R₁, R_T)/Var(R_T), β₂ = ..., β₃ = ... CAPM: E[R₁] = 5 + β₁·8.1, ... Проверить: выполняется ли CAPM-соотношение для всех трёх активов?

Задание: (1) Реализуйте задачу Марковица в Python (scipy minimize или аналитически): 5 активов (исторические данные S&P 500 компонент, 5 лет). Постройте эффективную границу (100 точек). Найдите тангенциальный портфель. (2) Оцените CAPM: регрессия μᵢ на βᵢ для 50 акций. Есть ли flat SML? (3) Добавьте факторы SMB и HML (данные с сайта Fama). Улучшает ли трёхфакторная модель объяснение поперечных различий?