Условия второго порядка и достаточные условия экстремума

Уравнение Эйлера-Лагранжа — это лишь необходимое условие, аналог равенства f'(x) = 0 в обычном анализе. Но f'(x) = 0 одинаково обнуляется и в минимуме, и в максимуме, и в седле. Чтобы отличить настоящий минимум, нужны условия второго порядка. В вариационном исчислении ситуация ещё тоньше: мало того, что вторая производная может менять знак, но и сами «направления» δy бесконечномерны. Поэтому теория развила несколько уровней проверки: от простого условия Лежандра до глубокой теоремы Вейерштрасса.

Вторая вариация

Аналогично разложению Тейлора f(x + ε) ≈ f(x) + εf'(x) + (ε²/2)f''(x), для функционала J[y + εη] раскладывается:

J[y + εη] = J[y] + ε·δJ[y, η] + (ε²/2)·δ²J[y, η] + O(ε³).

При δJ = 0 (выполнено EL) знак δ²J решает, минимум ли это.

Формула для второй вариации: δ²J[y, η] = ∫_a^b [P(x)·η'² + Q(x)·η²] dx, где P = ∂²F/∂y'², Q = ∂²F/∂y² − d/dx(∂²F/∂y∂y').

Расшифровка: P — «коэффициент при квадрате производной возмущения», своего рода «эффективная масса». Q — «коэффициент при квадрате самого возмущения», эффективная упругость.

Условие Лежандра (необходимое для минимума): P(x) = ∂²F/∂y'² ≥ 0 на [a, b]. Если в какой-то точке P < 0, то δ²J можно сделать сколь угодно отрицательной с помощью «зубчатых» возмущений η — экстремаль не реализует минимум.

Условие Якоби. Положительности P недостаточно: нужно ещё отсутствие сопряжённых точек. Сопряжённая точка x̄ ∈ (a, b] — точка, в которой нетривиальное решение уравнения Якоби (Pu')' − Qu = 0 с начальным условием u(a) = 0 снова обнуляется. Если в (a, b) сопряжённой точки нет — экстремаль реализует слабый минимум.

Поле экстремалей и теорема Вейерштрасса

Поле экстремалей. Это однопараметрическое семейство экстремалей, покрывающее некоторую область без пересечений (как линии тока в гидродинамике). В каждой точке поля задан наклон p(x, y) — производная проходящей через неё экстремали.

E-функция Вейерштрасса: E(x, y, p, y') = F(x, y, y') − F(x, y, p) − (y' − p)·∂F/∂y'(x, y, p).

Геометрически E — отклонение F от её касательной плоскости в точке y' = p. Если F выпукла по y', то E ≥ 0.

Теорема (Вейерштрасс): Если экстремаль y₀ погружена в поле и E(x, y, p, y') ≥ 0 для всех допустимых y' — то y₀ реализует сильный минимум (то есть минимум среди всех допустимых функций, близких к y₀ по значению, даже если их производные далеки).

Различие слабого и сильного минимумов важно: слабый учитывает только малые возмущения с малой y'-разницей, сильный — все близкие y, в том числе с быстро колеблющейся производной.

Связь с гамильтоновой механикой

Уравнение EL — ОДУ второго порядка. Его можно переписать как систему первого порядка через канонические переменные:

p = ∂F/∂y' (обобщённый импульс — «как лагранжиан реагирует на скорость»), H(x, y, p) = p·y' − F(x, y, y') (гамильтониан — преобразование Лежандра от F).

Тогда EL равносильно системе Гамильтона: ẏ = ∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂y. Эта переформулировка — предшественник принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления.

Численный пример: min ∫₀¹ (y² + y'²) dx, y(0) = 1, y(1) = 2

F = y² + y'², ∂²F/∂y'² = 2 > 0 — условие Лежандра выполнено. Уравнение Якоби: 2u'' − 2u = 0 → u(x) = sinh(x). u(0) = 0, и в (0, 1] sinh не обнуляется — сопряжённых точек нет. Вывод: экстремаль y(x) = (sinh(x)·(2 − cosh(1)/sinh(1)) + cosh(x))/... (подробный вид опустим) реализует минимум.

Реальные применения

• Машиностроение. Форма зубьев шестерён выбирается так, чтобы передача усилий была плавной — это вариационная задача с условиями второго порядка на гладкость огибающей.
• Финансовая математика. Оптимальная стратегия Мертона (потребление + инвестиции) проверяется на достаточность через анализ HJB и условий второго порядка для функции ценности.
• Управление производством. Модели Хольта-Винтерса для оптимального графика производства используют квадратичные функционалы — условие Лежандра гарантирует выпуклость по управлению, а отсутствие сопряжённых точек — глобальную оптимальность плана.
• Численная оптимизация. Алгоритмы newton-type для функционалов используют гессиан δ²J — если он положительно определён на допустимых направлениях, шаг Ньютона корректно сходится к минимуму.

Задание: Для задачи min ∫₀¹ (y² + y'²) dx, y(0) = 1, y(1) = 2: (а) запишите EL и найдите общее решение; (б) проверьте условие Лежандра; (в) найдите сопряжённые точки через уравнение Якоби; (г) убедитесь, что решение реализует минимум; (д) численно сравните J на найденной экстремали и на линейной интерполяции y = 1 + x.