Геометрические вероятности и непрерывные пространства

Классическая вероятность предполагает конечное число равновероятных исходов. Для непрерывных пространств (отрезок, круг, ℝⁿ) нужны геометрические вероятности, определяемые через меру Лебега.

Геометрические вероятности

Принцип: В непрерывном пространстве «равновозможность» — равномерное распределение по мере (длине, площади, объёму). P(A) = мера(A)/мера(Ω).

Парадокс Бертрана (1889): «Случайная хорда» окружности — длиннее ли стороны вписанного равностороннего треугольника? Три разумных определения «случайной хорды» дают P = 1/2, P = 1/3, P = 1/4. Демонстрирует, что «равновозможность» без точного определения неоднозначна.

Игла Бюффона: Иглу длины l бросают на пол с параллельными линиями расстояния d (l < d). P(пересечь линию) = 2l/(πd). Позволяет оценить π через эксперимент!

Непрерывные вероятностные пространства

Σ-алгебра Бореля: B(ℝ) — минимальная σ-алгебра, содержащая все открытые интервалы ℝ. Содержит: замкнутые множества, счётные объединения/пересечения, всё «разумное».

Мера Лебега на ℝ: λ((a,b)) = b-a — длина интервала. Расширяется на B(ℝ). P((a,b)) = (b-a)/(β-α) для равномерного U[α,β].

Равномерное распределение U[a,b]: P(X ∈ [c,d]) = (d-c)/(b-a). Плотность: f(x) = 1/(b-a) при x ∈ [a,b].

Задание: (а) Точка выбирается равномерно в квадрате [0,1]². P(x²+y² < 1) — P(внутри единичного круга) = π/4. Используйте для Монте-Карло оценки π. (б) Время ожидания автобуса равномерно на [0, 30] мин. Вы ждёте среднее время? P(ждать < 10 мин)?

Парадокс Бертрана и проблема меры

Парадокс Бертрана демонстрирует фундаментальную проблему: понятие «случайный» не имеет однозначного смысла без точного определения вероятностного пространства. Три метода построения случайной хорды дают разные ответы:

Метод 1 (случайные конечные точки): Выбираем равномерно две точки на окружности. Вероятность длинной хорды = 1/3.

Метод 2 (случайная средняя точка): Выбираем равномерно точку внутри круга — это середина хорды. Вероятность = 1/4.

Метод 3 (случайная проекция): Фиксируем направление, выбираем равномерно расстояние от центра до хорды. Вероятность = 1/2.

Все три метода «разумны», но дают разные ответы (1/3, 1/4, 1/2). Это показывает, что фраза «случайная хорда» неполна — нужно уточнять, относительно какой меры. Проблема решается современной аксиоматикой: необходимо явно задать вероятностное пространство (Ω, F, P).

Мера Лебега и «нулевые» вероятности

В непрерывных пространствах вероятность одной точки равна нулю: P(X = c) = 0 для любой непрерывной случайной величины. Это кажется парадоксальным — если вероятность каждого исхода нулевая, как вообще что-то происходит? Ответ в том, что счётная аддитивность работает для счётного числа событий, но непрерывные пространства некоррелируемы. Вероятность на отрезке — это «плотность», а не «точечная масса».

Из этого следует: нулевая вероятность ≠ невозможность. Событие «случайная точка ровно равна 0.7» имеет нулевую вероятность, но не является невозможным — в каждом конкретном эксперименте какое-то значение всё равно реализуется. Эту тонкость часто упускают при интерпретации вероятностей.

Метод Монте-Карло и геометрические вероятности

Метод Монте-Карло использует геометрические вероятности для численного интегрирования и моделирования. Идея: если P(точка попадает в область A) = |A|/|Ω|, то |A| ≈ |Ω| · (доля попавших точек в симуляции).

Оценка числа π: бросаем n точек равномерно в квадрат [−1,1]². Число k, попавших в единичный круг x²+y²≤1, даёт π ≈ 4k/n. При n = 10⁶ погрешность ≈ 0.001. Метод Монте-Карло используется в физике (ядерные реакции), финансах (оценка опционов), медицине (дозиметрия) и машинном обучении (оценка интегралов в байесовских моделях).

Скорость сходимости: Погрешность убывает как O(1/√n) — независимо от размерности! В отличие от детерминированных методов (кубатуры), где погрешность растёт с размерностью. Поэтому Монте-Карло предпочтителен в высоких размерностях (d > 5).

Непрерывные вероятностные пространства и σ-алгебры

Конструкция непрерывного вероятностного пространства требует осторожности. Для ℝ берём σ-алгебру Бореля B(ℝ) — минимальную, содержащую все открытые множества. Она замкнута относительно счётных объединений и пересечений, что гарантирует измеримость всех «разумных» подмножеств ℝ.

Однако существуют неизмеримые множества (конструкция Витали): разобьём [0,1] на классы эквивалентности x ~ y ⟺ x − y ∈ ℚ. Выберем по одному представителю из каждого класса — это неизмеримое множество V. Нельзя определить P(V) корректно, не нарушив аддитивность. Существование таких множеств зависит от аксиомы выбора — без неё они могут не существовать.

Мера Лебега и абсолютная непрерывность

Мера Лебега λ на ℝ — расширение длины отрезков: λ([a,b]) = b−a. Счётные множества имеют меру 0. Канторово множество (построение: убираем средние трети) имеет меру 0 и несчётно — парадоксальный объект.

Распределение X имеет плотность f(x) тогда и только тогда, когда P_X абсолютно непрерывна относительно λ: для любого A с λ(A)=0 имеем P(X∈A)=0. Теорема Радона-Никодима: тогда существует f = dP_X/dλ (производная Радона-Никодима). Для смешанных распределений (комбинация дискретного и непрерывного) используется разложение Лебега: P_X = P_ac + P_d.

Сходимость случайных величин: По вероятности: X_n →_P X ⟺ P(|X_n−X|>ε)→0. Почти наверное: X_n →_ac X ⟺ P(X_n→X)=1. В L²: E[(X_n−X)²]→0. По распределению (слабая): F_n(x)→F(x) в точках непрерывности F. Иерархия: п.н. ⟹ по вероятности ⟹ по распределению; L² ⟹ по вероятности.

Численный пример: вычисление вероятности через плотность

Задача: X ~ Uniform(0, 4). Найти P(1 < X ≤ 3).

Шаг 1: Плотность равномерного распределения: f(x) = 1/(4−0) = 1/4 на [0,4], и 0 вне этого отрезка.

Шаг 2: P(1 < X ≤ 3) = ∫₁³ (1/4) dx = (1/4)·(3−1) = (1/4)·2 = 1/2.

Шаг 3: Через CDF: F(x) = x/4 на [0,4]. P = F(3)−F(1) = 3/4 − 1/4 = 2/4 = 0.5. ✓

Шаг 4: Связь с мерой: мера Лебега λ([1,3]) = 2. Плотность f — это производная Радона-Никодима dP_X/dλ = 1/4. Сумма: P(X∈[0,4]) = (1/4)·λ([0,4]) = (1/4)·4 = 1. ✓