Шпаргалка
Теория риска и актуарная математика — все темы на одной странице
Основы теории риска и страхования
Классификация рисков, меры риска и основы страховой математики
Определение и виды риска → Частота и тяжесть убытков → Закон больших чисел в страховании → Численный пример: автостраховой портфель → Реальные применения
Определения
Формулы
- •Чистый риск: только возможность убытка (пожар, болезнь, авария). Идеальная сфера страхования.
- •Спекулятивный риск: возможность и убытка, и прибыли (инвестиции, валютный курс). Управляется хеджированием, диверсификацией.
- •Страховой риск (insurable): случайный, измеримый, есть большое число однородных единиц, убыток некатастрофический.
- •Финансовый риск: рыночный (цены акций, ставки), кредитный (дефолт), ликвидности (невозможность быстро продать).
- •Операционный риск: ошибки процессов, систем, персонала, внешних событий.
- •Системный риск: коррелированные потрясения всей системы (кризис 2008, COVID-2020).
- •Пуассоновское: P(N = k) = e^{−λ}·λ^k/k!, E[N] = λ, Var[N] = λ. Идеально для редких независимых событий (пожары, аварии).
- •Биномиальное: фиксированное n рисков, каждый дефолтит с вероятностью p. E[N] = n·p, Var[N] = n·p·(1−p).
- •Отрицательное биномиальное: гетерогенный портфель — Var > E (overdispersion).
- •Экспоненциальное: f(x) = λ·e^{−λ·x}, E[X] = 1/λ. Лёгкий хвост, мало катастроф.
- •Логнормальное: ln X ~ N(μ, σ²). Умеренный хвост, классика для страховых убытков.
- •Парето: P(X > x) = (θ/(θ+x))^α. Тяжёлый хвост — катастрофы возможны. Используется для пожаров, наводнений, кибер-атак.
- •Принцип ожидаемого значения: P = (1 + θ)·E[X], θ ≈ 0.1–0.5.
- •Принцип стандартного отклонения: P = E[X] + λ·σ(X).
- •Принцип дисперсии: P = E[X] + α·Var[X].
- •Эспоненциальный (Esscher): P = (1/α)·ln E[e^{α·X}] — связан с теорией полезности.
- •Автострахование (КАСКО, ОСАГО). Россия: рынок 250+ млрд руб./год. Тарифные коэффициенты строятся на основе compound-моделей с дискриминацией по возрасту, опыту, региону, мощности.
- •Здравоохранение. Bismarck-системы (Германия, Япония) и market-based (США) используют actuarial-модели для расчёта премий с учётом возраста, образа жизни.
- •Корпоративное страхование. Полисы D&O (директоров), кибер-страхование, страхование business interruption — экзотические модели с тяжёлыми хвостами.
- •Перестрахование (Munich Re, Swiss Re). Глобальные перестраховщики управляют портфелями катастрофических рисков на десятки миллиардов долларов — наш аппарат частоты-тяжести с поправками на корреляции.
Любая экономическая деятельность сопряжена с неопределённостью: пожар может уничтожить склад, заёмщик может не вернуть кредит, цена нефти может рухнуть, а пандемия — парализовать целые отрасли. Актуарная наука превращает «страхи» в числа: формализует риск, количественно оценивает его и предлагает...
Риск — возможность наступления нежелательного события с некоторой вероятностью, влекущего финансовые потери. Формально: случайная величина X, описывающая убыток (или доходность с отрицательным знаком), плюс вероятностная мера на пространстве элементарных исходов.
Критерии страхуемости (insurability): случайность (не зависит от воли страхователя), определённость (можно измерить убыток), независимость (между страхователями), большое число однородных рисков (для закона больших чисел), приемлемая премия. Не все риски страхуемы: ядерная катастрофа, война, репу...
Композитная модель Compound: Суммарный годовой убыток S = X_1 + X_2 + ... + X_N, где N — случайное число убытков (частота, frequency), X_i — размер i-го убытка (тяжесть, severity). Стандартное предположение — независимость N и {X_i}, и независимость X_i между собой.
Value at Risk (VaR) → Численный пример → Недостатки VaR → Conditional Value at Risk (CVaR / Expected Shortfall) → Когерентные меры риска (Artzner et al., 1999) → Спектральные меры риска → Численный пример: субаддитивность VaR vs. CVaR → Реальные применения
Определения
Формулы
- •Не учитывает «масштаб бедствия» за порогом. Два портфеля с одинаковым VaR могут иметь радикально разные убытки в худшие 1%: один теряет 5 млн, другой — 50 млн.
- •Не субаддитивен. Известны примеры X, Y: VaR(X + Y) > VaR(X) + VaR(Y). Нарушает принцип «диверсификация снижает риск» — нежелательно для риск-менеджмента.
- •Игнорирует корреляционную структуру хвостов. В кризисах корреляции между активами растут — VaR это не улавливает.
- •Solvency II (Европа, страхование): SCR = VaR_{0.995} на 1 год для каждого риска.
- •Basel III (банки, рыночный риск): переход с VaR на ES (CVaR_{0.975}) в FRTB (с 2023 г.).
- •IORP II (пенсии): комбинация VaR, ES и стресс-тестов.
- •Trading-floor (банки). Дневной VaR-лимит на каждый desk: 5–10 млн USD типично для большого банка. Превышение → escalation, разбор причин.
- •Страховые компании (Solvency II). SCR = VaR_{0.995} на горизонт 1 год. Crédit Agricole Assurances: SCR ≈ €15 млрд, capital ratio 240%.
- •Пенсионные фонды. UK USS, Dutch ABP оценивают liability-VaR при пессимистичных сценариях ставок и долгожительства.
- •Криптовалютные биржи. Risk engine для маржинальной торговли использует VaR в реальном времени для расчёта margin requirements.
Сказать «портфель рискованный» недостаточно для регулятора, акционера или риск-менеджера. Нужны числа: «с вероятностью 99% дневной убыток не превысит X», «капитал должен быть не менее Y». Меры риска — формальные числовые характеристики «опасности» распределения убытков. От их выбора зависит, скол...
Определение: VaR_α(X) = inf{x: P(X ≤ x) ≥ α} — α-квантиль распределения убытков X.
В терминах потерь: VaR_α — наименьший убыток, который превышается с вероятностью не более 1 − α. Например, VaR_{0.99} = 1 млн руб. означает: «с вероятностью 99% убыток ≤ 1 млн». В среднем 1 раз из 100 дней он будет превышен.
Расшифровка символов. α — доверительный уровень (обычно 0.95, 0.99, 0.995). X — случайный убыток (положительные значения = потери).
Виды перестрахования → Оптимальное перестрахование → Cat Bonds (катастрофные облигации) → Численный пример: эффект XL-перестрахования → Реальные применения
- •Платёж перестраховщика: min(max(X − d, 0), u − d).
- •Удержание цедента: min(X, d) + max(X − u, 0).
- •Indemnity: фактический убыток страховщика.
- •Industry index: общеотраслевой убыток (PCS index).
- •Parametric: значение природного параметра (магнитуда, скорость ветра в точке).
- •Modeled loss: убыток по предопределённой модели.
- •E[Y] = E[min(S, 2)] + E[max(S − 5, 0)] + 0.4 ≈ 1.31 + 0.27 + 0.4 = 1.98 млн (выше E[S] на 0.33 млн — стоимость перестрахования).
- •σ(Y) ≈ 0.85 млн (резко ниже σ(S) = 1.48 млн).
- •VaR_{0.99}(Y) ≈ 2 + (max(S − 5, 0))_{0.99} ≈ 4.6 млн (vs. 7.61 млн без перестрахования).
- •CVaR_{0.99}(Y) ≈ 5.5 млн (vs. 9.52 млн).
- •Munich Re, Swiss Re, Hannover Re. Топ-3 перестраховщика мира, премии $50–60 млрд каждый. Перестраховывают риски от природных катастроф, авиации, морского страхования, кибер.
- •Lloyd's of London. Уникальный синдикатный рынок: 70+ синдикатов, специализирующихся на сложных рисках (искусство, морские пираты, отмена концертов). Premium ≈ £45 млрд/год.
- •Florida Hurricane Catastrophe Fund. Государственный «перестраховщик» Флориды для ураганов. После Andrew (1992) и Wilma (2005) реструктурирован, использует Cat Bonds.
- •Pandemic Bond Всемирного банка (2017). $320 млн на покрытие пандемий в развивающихся странах. Сработал в марте 2020 — выплата $195 млн (но многих критиковала за слишком жёсткие триггеры).
Страховщик сам не застрахован: ураган, эпидемия или массовое банкротство могут уничтожить капитал крупнейшей компании. Решение — перестрахование, «страхование страховщика». Часть рисков передаётся перестраховщику (Munich Re, Swiss Re, Hannover Re), который специализируется на принятии катастрофич...
1. Пропорциональное (Quota Share, QS). Перестраховщик берёт фиксированную долю q каждого убытка и получает долю q страховой премии. Цедент (direct insurer) удерживает (1 − q)·X.
Пример: q = 30%. Убыток 1 млн → перестраховщик платит 300 тыс., цедент — 700 тыс. Премии распределяются так же.
Преимущества: простота, стабильность отношений. Недостаток: цедент платит и за «мелкие» убытки, которые мог бы себе позволить.
Актуарная математика: теория надёжности
Функции дожития, таблицы смертности и пожизненное страхование
Функции дожития → Параметрические модели → Таблицы смертности → Численный пример → Selection effect и underwriting → Реальные применения
- •F(x) = P(X ≤ x) = 1 − S(x) — функция распределения.
- •f(x) = F'(x) = −S'(x) — плотность.
- •Интенсивность смертности (force of mortality): μ(x) = f(x)/S(x) = −d ln S(x)/dx.
- •_t·p_x = P(X > x + t | X > x) = S(x+t)/S(x) — вероятность дожить из x ещё t лет.
- •_t·q_x = 1 − _t·p_x — вероятность смерти в (x, x+t].
- •p_x = _1·p_x, q_x = _1·q_x — годовая вероятность дожить/умереть.
- •l_x — число доживающих до x из l_0 = 100 000 (или 1 000 000) условной когорты.
- •d_x = l_x − l_{x+1} — число умирающих в год x.
- •q_x = d_x / l_x — годовая вероятность смерти.
- •p_x = 1 − q_x.
- •ė_x = (l_{x+1} + l_{x+2} + ... + l_{110})/l_x + 0.5 (поправка на середину года) — ожидаемая остаточная жизнь.
- •Страхование жизни. Расчёт нетто-премий, резервов, дивидендов participating polices. Реальные таблицы у российских страховщиков — РФ-смертность с поправками на селекцию.
- •Пенсионные фонды. Оценка обязательств по выплате пожизненных пенсий. Ошибка в e_65 на 1 год → ~5% дополнительных обязательств → миллиарды для крупных фондов (UK USS, Dutch ABP).
- •Государственные пенсионные системы. Социальный фонд России, US Social Security проектируют долгосрочные дефициты на основе projected mortality.
- •Медицинское страхование. Премии по возрасту, расчёт ожидаемых затрат на лечение по когортам.
- •Annuities (пожизненные ренты). Pricing — обратная задача: премия за гарантированную пожизненную выплату X руб./мес. на основе e_x и ставки.
Страховщик жизни заключает контракт на 30, 50, 70 лет вперёд: расчёт премии и резервов требует количественной модели смертности. Актуарная математика жизни строится на анализе случайной величины «время жизни» T_x — остаточной продолжительности жизни человека возраста x. Таблицы смертности — главн...
Функция дожития: S(x) = P(X > x) — вероятность дожить до возраста x. S(0) = 1, S(∞) = 0, S убывает.
Расшифровка μ(x): мгновенная вероятность смерти на единицу времени при условии дожития до x. Аналог hazard rate в анализе выживаемости.
1. Экспоненциальное (постоянная смертность): μ(x) = λ. S(x) = e^{−λ·x}, ė_x = 1/λ. Слишком упрощённо: в реальности смертность зависит от возраста.
Актуарское дисконтирование → Пожизненное страхование → Рекуррентное соотношение → Пожизненные ренты (annuities) → Фундаментальное тождество → Net Premium (нетто-премия) → Численный пример: мужчина 40 лет, i = 5% → Реальные применения
Формулы
- •_n·E_x = v^n · _n·p_x — современная стоимость выплаты 1 руб. через n лет при условии дожития. Объединяет дисконтирование (v^n) и вероятность (_n·p_x).
- •Страхование жизни. Россия (СОГАЗ, Альфа-Страхование жизни) — премии по таблицам РФ-смертности с консервативной ставкой 3–4%. Западные (Allianz, Manulife) — 1–2% (низкие ставки).
- •Аннуитеты пенсионного обеспечения. Пенсионер передаёт страховщику капитал C, получает пожизненную ренту X = C/ä_65. Для мужчины 65 лет, i = 3%: ä_65 ≈ 13.5, X ≈ C/13.5.
- •Variable Annuities с гарантиями (US, JP). Триллионные обязательства, требуют динамического хеджирования (delta, vega, longevity).
- •Резервы в IFRS 17. Современный учёт страховых обязательств требует тщательного актуарного расчёта V_t для каждой когорты полисов.
Страховые продукты длинного горизонта — пожизненное страхование, ренты, эндаументы — стержень классической актуарной математики. Их оценка требует не только знания смертности, но и грамотного дисконтирования будущих платежей с учётом вероятности дожития. Принцип эквивалентности (E[взносы] = E[вып...
Дисконт-фактор: v = 1/(1 + i), где i — годовая процентная ставка. Современная стоимость 1 руб. через t лет: v^t = (1 + i)^{−t}.
Whole Life Insurance (страхование на всю жизнь). Выплата 1 руб. в момент смерти, когда бы она ни произошла. Современная стоимость в актуарном смысле:
Нижнее подчёркивание означает «непрерывная» выплата (в момент смерти, а не в конце года). Без подчёркивания: A_x = Σ_{k=0}^∞ v^{k+1} · _k·p_x · q_{x+k} (выплата в конце года смерти).
Типы пенсионных планов → Актуарная оценка пенсионных обязательств → Asset-Liability Management (ALM) → Численный пример: оценка обязательств плана → Реальные применения
- •IAS 19 (Европа, IFRS-страны): ставка высококачественных корпоративных облигаций (AA-rated). При снижении ставки на 100 б.п. — PVO растёт на 10–15%.
- •ASC 715 (US GAAP): аналогично.
- •GASB (США, публичные планы): историческая доходность портфеля (часто завышена 7–8%). Создаёт иллюзию устойчивости.
- •Hedging portfolio: 60–80% активов в долгосрочных облигациях, swaps, для дюрации обязательств.
- •Return portfolio: 20–40% в акциях, альтернативах, для дополнительной доходности.
- •При i = 3% (вместо 4%): v^20 = 0.554, ä_65 ≈ 16.3. PVO ≈ 776 млн (+35%).
- •При e_65 +1 год (ä_65 → 15.7): PVO ≈ 608 млн (+6%).
- •Газпром, Газфонд. Крупнейший НПФ России, обязательства > 500 млрд руб. Актуарные расчёты по ИПС-системе.
- •CalPERS (California Public Employees). $440 млрд активов, 2 млн участников. Discount rate снижен с 7.5% до 6.8% (2021), вызвало пересмотр обязательств +$100 млрд.
- •UK USS (Universities Superannuation Scheme). £75 млрд, 460 000 участников. Кризис финансирования 2018-2023 — спор о discount rate, забастовки преподавателей.
- •GPIF (Government Pension Investment Fund of Japan). Крупнейший пенсионный фонд мира ($1.6 трлн). Hybrid LDI с большим аллокированием в акции для борьбы с долголетием японцев (e_65 = 21 год).
Пенсионные фонды управляют самыми долгосрочными финансовыми обязательствами в мире — выплаты обещаны через 30, 50, иногда 70 лет. Актуарный анализ пенсионных систем охватывает три компонента: оценку обязательств (PVO), формирование резервов и активов, управление процентным и долголетийным риском ...
Defined Benefit (DB) — пенсия с установленными выплатами. Работодатель обязуется платить пенсию по формуле, обычно: пенсия = b · стаж · финальная зарплата, где b ≈ 1.5–2.5%. Например: 25 лет стажа × 2% × 100 000 руб. = 50 000 руб./мес. пожизненно.
Все актуарные риски (долголетие, инвестиционные доходности, инфляция) несёт работодатель/спонсор. Это классическая модель XX века (US Social Security, UK State Pension, российская страховая пенсия).
Defined Contribution (DC) — пенсия с установленными взносами. Работодатель и/или работник вносят фиксированный % зарплаты (обычно 5–15%) на индивидуальный счёт. Пенсия = накопленный счёт ÷ ё_65 (или конвертация в аннуитет).
Теория надёжности систем
Отказы систем, FTA, RBD и техническое обслуживание
Основные функции надёжности → Кривая «ванна» (bathtub curve) → Параметрические модели → Структурная надёжность систем → Fault Tree Analysis (FTA) и Reliability Block Diagrams (RBD) → Численный пример → Реальные применения
Формулы
- •β < 1: h убывает (infant mortality).
- •β = 1: экспоненциальное (useful life).
- •β > 1: h растёт (wear-out).
- •β = 2: «Rayleigh distribution» — линейный рост h.
- •AND: верхнее событие требует всех входных (произведение вероятностей).
- •OR: достаточно одного входа.
- •Авиация. Boeing 787, Airbus A350: каждая критическая система (полётное управление, гидравлика, авионика) тройное резервирование. Расчётная вероятность отказа FCS < 10⁻⁹/час.
- •Атомная энергетика. WANO benchmark: вероятность плавления активной зоны < 10⁻⁵/реактор-год. После Фукусимы — пересмотр стандартов, дополнительные системы безопасности.
- •Автомобилестроение. ISO 26262 ASIL D (для airbag, ABS): требования R(10 лет) > 1 − 10⁻⁹. Проверяется FMEDA + FTA.
- •Медицина. Кардиостимуляторы (Medtronic, St. Jude): MTBF > 8 лет, расчётный MTTF > 12 лет. Тестирование accelerated life testing.
- •IT-инфраструктура. AWS, Azure SLA 99.99% (≈ 53 мин даунтайма/год). Достигается резервированием data centers (multi-AZ deployment).
Современные технические системы — самолёты, ядерные реакторы, медицинское оборудование — насчитывают миллионы компонентов. Отказ любого может стоить жизней и миллиардов. Теория надёжности изучает вероятность безотказной работы и предлагает количественные методы для оценки и проектирования систем ...
Функция надёжности (reliability function): R(t) = P(T > t) — вероятность безотказной работы до момента t. Аналог функции дожития S(x) в актуарной математике. R(0) = 1, R(∞) = 0.
Интенсивность отказов (hazard rate, failure rate): h(t) = f(t)/R(t) = −d ln R(t)/dt.
Расшифровка h(t): мгновенная вероятность отказа в момент t при условии, что компонент работал до t. Аналог μ(x) в теории дожития. Восстановление: R(t) = exp(−∫_0^t h(s) ds).
Типы стратегий ТО → Оптимальный интервал профилактического ТО → Численный пример: насос → Возрастная замена vs. блочная → Reliability Centered Maintenance (RCM) → Примеры с реальными цифрами → Реальные применения
| T_p | R(T_p) | F(T_p) | ∫R dt | ECPU |
|---|---|---|---|---|
| 200 | 0.982 | 0.018 | 198 | 2.94 |
| 400 | 0.881 | 0.119 | 380 | 2.73 |
| 600 | 0.692 | 0.308 | 522 | 3.62 |
| 800 | 0.456 | 0.544 | 615 | 4.79 |
- •Без PM: ECPU = C_f / E[T] = 5000 / 887 (среднее Вейбулл) = 5.64 у.е./ч (вдвое хуже).
- •Слишком частый PM (T = 100): ECPU = 5.0 (тоже хуже из-за «лишних» замен).
- •On-Condition (CBM по индикаторам).
- •Hard Time (фиксированный ресурс, замена по налётам).
- •Failure Finding (тестирование скрытых функций — пожарная сигнализация и т.п.).
- •Servicing/Lubrication.
- •Авиадвигатели CFM56 (Boeing 737 NG). Heavy maintenance каждые 24 000 циклов взлёт-посадка. Стоимость: $4–6 млн. Расчёт оптимального ресурса — комбинация Вейбулл-моделей для каждой детали.
- •Газовые турбины GE 9HA. CBM на основе вибродиагностики, температуры выхлопа, давления. Сокращает downtime на 30% vs. фиксированный график.
- •Ветрогенераторы. Lifetime 20–25 лет, ТО гидро/электросистем критично (ремонт в открытом море дорог). Vestas, Siemens Gamesa используют CBM с remote monitoring.
- •Авиация (Lufthansa Technik, AAR Corp). Базовые проверки A, B, C, D check (от 250 ч до 12 лет). RCM-анализ для каждой системы. Затраты 3000–8000 USD/час налёта.
- •Нефтегаз (Shell, ExxonMobil). Оборудование платформ, трубопроводов: stop loss от unplanned shutdown >$10M/день. CBM с тысячами IoT-датчиков.
- •Железные дороги. РЖД, Deutsche Bahn — predictive maintenance подвижного состава, путей. Akustic monitoring для подшипников.
- •ЦОД и IT. Hard drive replacement: статистика Backblaze показывает Вейбулл-распределение, оптимально PM на 5–7 году.
- •Медицинское оборудование. МРТ (Siemens, GE): CBM по магниту (helium pressure), gradient coils. Незапланированный отказ — потеря ~$50K/день.
Любая техника требует обслуживания, но «слишком много» ТО — это потеря денег и времени, «слишком мало» — катастрофические отказы. Оптимальная стратегия ТО балансирует затраты на профилактику и стоимость отказов. Математические модели позволяют выбрать оптимальные интервалы и виды обслуживания. Эт...
1. Реактивное (Corrective Maintenance, CM). «Ломается — чиним». Минимум планирования, максимум стоимости простоя. Эффективно при дешёвых компонентах (лампочки) и низкой стоимости отказа.
2. Профилактическое (Preventive Maintenance, PM). ТО по фиксированному интервалу T (например, замена масла каждые 10 000 км) независимо от состояния. Снижает вероятность отказа, но порождает «лишние» ТО для компонентов, которые ещё могли бы работать. Стандарт автомобильной и авиационной отраслей ...
3. Предсказательное / Condition-Based Maintenance (CBM). ТО при достижении компонентом порогового уровня деградации, измеряемого датчиками. Требует мониторинга (IoT, вибродиагностика, анализ масла, термография). Оптимально экономически, но требует инвестиций в датчики и аналитику. Стандарт XXI ве...
Особенности надёжности ПО → Модели надёжности ПО → Численный пример → Функциональная безопасность (IEC 61508) → Архитектуры с резервированием → HAZOP (Hazard and Operability Study) → Численный пример: SIL для защитной системы → Реальные применения
| SIL | PFD (low demand) | PFH (high demand) | Требуемое снижение риска |
|---|---|---|---|
| 1 | 10⁻² – 10⁻¹ | 10⁻⁶ – 10⁻⁵ | 10–100× |
| 2 | 10⁻³ – 10⁻² | 10⁻⁷ – 10⁻⁶ | 100–1000× |
| 3 | 10⁻⁴ – 10⁻³ | 10⁻⁸ – 10⁻⁷ | 1000–10000× |
| 4 | 10⁻⁵ – 10⁻⁴ | 10⁻⁹ – 10⁻⁸ | 10000–100000× |
- •Отказы детерминированы: одни входные данные → одна и та же ошибка. «Случайность» отказов ПО — это случайность входных данных и состояний.
- •Нет физического износа: ПО не стареет в аппаратном смысле.
- •Нет «кривой ванны»: после введения в эксплуатацию число дефектов снижается со временем (за счёт исправлений).
- •Дефекты вносятся при разработке: bugs — в код, design flaws — в архитектуру.
- •Возможна ли причина?
- •Каковы последствия?
- •Существует ли защита?
- •Что рекомендуется?
- •Boeing 737 MAX MCAS катастрофы (2018-2019). Архитектура 1oo1 (один датчик угла атаки) для критичной функции — нарушение принципов IEC 61508. После переработки — 2oo2 с принципом отделения (раз. ист...
- •Tesla Autopilot. ASIL D компоненты (тормоза, рулевое) — TMR. Camera + radar + ultrasonic — sensor fusion для снижения CCF.
- •АЭС (ВВЭР, EPR). 4-х канальные защиты ректора. Diversity: разные принципы (механические + электронные).
- •Therac-25 (1985-1987). Линейный ускоритель медицинской облучательной терапии. Race condition в ПО → передозировка облучения, 6 смертей. Урок: software-only safety без hardware interlock — недопустимо.
- •Ariane 5 Flight 501 (1996). Переполнение 16-битного целого в навигации → потеря ракеты $370M. Reuse кода Ariane 4 без re-validation.
ПО становится критическим компонентом современных систем — самолёты Boeing 787 имеют ~10 млн строк кода, Tesla Model S — ~100 млн, F-35 — ~25 млн. Надёжность ПО принципиально отличается от аппаратной: ошибки детерминированы (одни и те же входы дают одну и ту же ошибку), не случайны, и ПО не «изна...
Mean Time To Failure (MTTF) для ПО имеет смысл только при стабильном профиле использования. Если паттерны входов меняются — MTTF меняется.
NHPP-модели (Non-Homogeneous Poisson Process). Кумулятивное число обнаруженных дефектов N(t) — NHPP с переменной интенсивностью λ(t). При обнаружении и исправлении дефектов λ(t) убывает.
1. Jelinski-Moranda (1972). Изначально N_0 дефектов. Интенсивность отказа в момент t: λ(t) = φ·(N_0 − n(t)), где n(t) — число обнаруженных к t. Каждый исправленный bug снижает λ на φ. Классическая модель, но переоценивает оставшиеся дефекты.
Кредитный риск и риск дефолта
Модели дефолта, кредитные деривативы и Basel
Структурные модели (Merton, 1974) → Расширения Мертона → Reduced-Form модели (Jarrow-Turnbull 1995, Duffie-Singleton 1999) → CDS Spread → Кредитные рейтинги и матрица миграции → Численный пример: Merton для компании → IFRS 9 и Expected Credit Loss (ECL) → Реальные применения
- •AAA: P(default за 5 лет) = 0.05%.
- •PD (Probability of Default): probabilistic over horizon (12 months или lifetime).
- •LGD (Loss Given Default): 1 − R, обычно 35–50% для unsecured loans.
- •EAD (Exposure at Default): остаток долга в момент дефолта.
- •Корпоративное кредитование. Сбербанк, Альфа: внутренние модели PD (logistic regression на финансовых показателях + behavioral data), LGD, EAD. RWA-расчёт по Basel IRB.
- •CDS-рынок. $9 трлн notional outstanding. ICE Clear Credit, LCH SwapClear как central counterparties.
- •Crisis 2008. AIG продал $400 млрд CDS на subprime MBS, не имея капитала покрыть дефолты — государственный bail-out $182 млрд.
- •Moody's Credit Monitor / KMV. Используется > 200 банками для мониторинга PD клиентов в реальном времени.
- •Кредитные карты, потребкредит. FICO score (US), Equifax (UK), НБКИ (Россия) — упрощённые reduced-form модели для розничного кредитования.
Кредитный риск — риск того, что заёмщик не выполнит обязательства — основной риск банков (60–70% RWA для коммерческих банков). Его управление регулируется Базельскими соглашениями. Математические модели кредитного риска критически важны для ценообразования корпоративных облигаций, CDS, расчёта ре...
Идея Мертона. Активы компании V_t моделируются как геометрическое броуновское движение: dV = μ·V·dt + σ·V·dW.
Долг компании D погашается в момент T. Дефолт наступает, если V_T < D (активов не хватает на долг).
Это колл-опцион на активы со страйком D! Применяя формулу Блэка-Шоулза: E_0 = V_0·N(d_1) − D·e^{−r·T}·N(d_2), где d_1 = (ln(V_0/D) + (r + σ²/2)·T)/(σ·√T), d_2 = d_1 − σ·√T.
Credit Default Swap (CDS) → Виды кредитных деривативов → CDO и корреляционный риск → Gaussian Copula (Li, 2000) → Численный пример: CDO-транши → Провал в кризисе 2008 → Реальные применения
- •Покупатель платит регулярный спред s (basis points в год от notional N) — обычно ежеквартально.
- •При наступлении кредитного события (дефолт, банкротство, реструктуризация) — продавец компенсирует (1 − R)·N (loss given default).
- •Single-name CDS. На конкретного эмитента.
- •CDS Index (CDX, iTraxx). На портфель из 125 эмитентов. Стандартизованные транши.
- •Credit-Linked Note (CLN). Облигация, выплаты по которой зависят от кредитных событий.
- •Total Return Swap. Обмен полной доходности облигации на LIBOR + spread.
- •CDO (Collateralized Debt Obligation). Структурированный продукт (см. ниже).
- •Senior tranche (e.g., 30–100% потерь): последним получает убытки, AAA-рейтинг, низкий купон.
- •Mezzanine tranche (e.g., 10–30%): средний приоритет, BBB-A рейтинг.
- •Equity tranche (e.g., 0–10%): первым получает убытки, без рейтинга, высокий купон (или residual interest).
- •Среднее число дефолтов: 5.
- •При Z = −1.65 (5-й перцентиль): условная p_i ≈ 0.18, среднее 18 дефолтов.
- •При Z = −2.33 (1-й перцентиль): p_i ≈ 0.30, ~30 дефолтов.
- •E[L] = 0.05·(1 − 0.4) = 3%.
- •VaR_{0.99}(L) ≈ 18%.
- •VaR_{0.999}(L) ≈ 30%.
- •Equity 0–10%: средний убыток ≈ 100·E[min(L, 10%)/10%] (отношение к notional трансе) ≈ 35%. Высокий риск.
- •Mezzanine 10–30%: средний убыток ≈ 8% от notional. AAA для нижней половины, BBB для верхней.
- •Senior 30–100%: убыток ≈ 0.3% от notional. AAA с почти нулевой вероятностью списания.
- •Маргинальные распределения и корреляции — недостаточно. Нужны t-copulas (тяжёлые хвосты), wrong-way risk, stress-testing.
- •Параметры калибровать на стрессовых периодах, не на «спокойных».
- •Liquidity risk: даже при технически правильной оценке невозможно продать AAA-tranche по справедливой цене в панике.
- •CDX/iTraxx торговля. Объём ~$5 трлн notional. Используется хедж-фондами для market-neutral стратегий, банками для хеджирования портфеля.
- •Bespoke tranches. Customized CDOs для конкретных институциональных клиентов. Возродились с 2017 после исчезновения post-2008.
- •CLO (Collateralized Loan Obligations). Аналог CDO для leveraged loans. Рынок $1+ трлн, активно используется в LBO-финансировании.
- •Synthetic CDOs. На основе CDS, без реальных активов. Использовались для регуляторного арбитража, ныне ограничены.
Кредитные деривативы — финансовые инструменты, позволяющие торговать кредитным риском независимо от базовых облигаций. CDS (Credit Default Swap) и CDO (Collateralized Debt Obligation) сыграли ключевую роль в финансовом кризисе 2008 года: понимание их механики и опасностей корреляций — обязательны...
Структура. Двусторонний контракт между покупателем защиты (protection buyer) и продавцом (protection seller).
CDS — это страховка от кредитного риска, доступная без владения базовой облигацией (naked CDS). Это и инструмент хеджирования, и инструмент спекуляции.
Ценообразование (no-arbitrage). При постоянной h и R, в непрерывном времени: PV(premium leg) = s · ∫_0^T e^{−(r+h)·t} dt = s·(1 − e^{−(r+h)·T})/(r+h). PV(protection leg) = (1−R)·h · ∫_0^T e^{−(r+h)·t} dt.
Basel I (1988): простой каркас → Basel II (2004-2007): три столпа → Basel III (2010-2019): ответ на кризис 2008 → Basel III «Final» / Basel IV (2017-2023, имплементация до 2028) → Численный пример → Реальные применения
Формулы
- •0%: денежные средства, госдолг ОЭСР.
- •20%: межбанковские требования (банки ОЭСР).
- •50%: ипотечные кредиты.
- •100%: корпоративные кредиты, акции.
- •Tier 1: акционерный капитал, нераспределённая прибыль.
- •Tier 2: subordinated debt, hybrid instruments.
- •CET1 ≥ 4.5% RWA (минимум).
- •Capital Conservation Buffer: 2.5% CET1 (доступен в стрессе, но ограничивает выплаты дивидендов).
- •Countercyclical Buffer: 0–2.5% CET1 (включается в фазу роста кредитования).
- •G-SIB Surcharge: 1–3.5% для глобально системно значимых банков (G-SIBs).
- •Total CET1 для крупного банка: 4.5 + 2.5 + 1.5 = 8.5%.
- •SA-CCR (Standardized Approach for Counterparty Credit Risk). Замена Current Exposure Method для деривативов.
- •FRTB (Fundamental Review of the Trading Book). Замена VaR на Expected Shortfall (97.5%) для рыночного риска. Liquidity horizons 10–120 дней по типам активов.
- •Output Floor. RWA по внутренним моделям ≥ 72.5% от RWA по стандартизованному подходу. Ограничивает «model arbitrage».
- •Operational Risk SMA (Standardised Measurement Approach). Замена AMA. Капитал = функция размера банка × Internal Loss Multiplier.
- •€500 млн корпоративные кредиты (PD = 2%, LGD = 45%, M = 3 года).
- •€200 млн межбанк (PD = 0.5%, LGD = 40%).
- •€100 млн розничные ипотеки (PD = 1%, LGD = 25%).
- •G-SIBs (JPMorgan, HSBC, ICBC, Sber). Самые жёсткие требования, тщательный пруденциальный надзор. CET1 14–17%.
- •EBA Stress Tests (Европа). Раз в 2 года. 70 крупнейших банков ЕС симулируются в неблагоприятных сценариях. 2023: средний CET1 в severely adverse — 10.4% (vs. 15.0% baseline).
- •DFAST/CCAR (США). ФРС-стресс-тесты для банков > $250 млрд активов. Запрет на дивиденды/buybacks при провале.
- •Базель в России. ЦБ РФ адаптировал Basel III с 2014 г. Норматив Н1.0 ≥ 8%, Н1.1 ≥ 4.5%, Н1.2 ≥ 6%.
- •Failures of Basel. Credit Suisse (2023): формально соответствовал Basel III (CET1 14%), но AT1 wipe-out (CHF 16 млрд) поставил под сомнение всю систему. Silicon Valley Bank (2023): не G-SIB, упрощё...
Базельские соглашения (Basel I, II, III, III «Final») — международный регуляторный стандарт банковского капитала, разработанный Базельским комитетом по банковскому надзору (BCBS) при Банке международных расчётов (BIS). Их цель — обеспечить достаточность капитала банков для поглощения убытков и сн...
Критика. Грубые весовые категории игнорируют качество внутри категорий (AAA-корпорация и BB-стартап — оба 100%). Нет учёта корреляций. Регуляторный арбитраж: банки секьюритизировали высококачественные активы, оставляя на балансе высокорискованные с тем же весом.
Стандартизованный подход (SA): внешние рейтинги (S&P, Moody's) → веса риска. AAA-AA: 20%, A: 50%, BBB: 100%, ниже BB: 150%.
IRB (Internal Ratings-Based). Банки используют внутренние модели для оценки PD, LGD, EAD. Регулятор задаёт формулу для RWA:
Экстремальные события и хвостовые риски
Теория экстремальных значений, катастрофы и стресс-тестирование
Теорема Гнеденко-Фишера-Типпетта (GEV) → Метод Block Maxima → Generalized Pareto Distribution (GPD) → Оценка хвостового VaR → Численный пример → Mean Excess Function → Применения EVT → Реальные применения
Формулы
- •ξ = 0 (Gumbel): лёгкие хвосты. Распределения: нормальное, лог-нормальное, экспоненциальное, гамма.
- •ξ > 0 (Fréchet): тяжёлые хвосты, степенное затухание P(X > x) ~ x^{−1/ξ}. Распределения: Парето, Стьюдент с df < ∞, Cauchy. Финансовые убытки, наводнения, страховые иски.
- •ξ < 0 (Weibull): ограниченный хвост (X ≤ x_max). Распределения: равномерное, бета. Редко в природных явлениях.
- •Solvency II SCR. Страховые компании используют EVT для калибровки 1-в-200-лет сценариев катастроф. RMS, AIR Worldwide — основные провайдеры моделей.
- •Basel FRTB. Stressed Expected Shortfall — calibration на стрессовом периоде, часто с EVT-методами для tail.
- •Reinsurance pricing (Munich Re, Swiss Re). Экстраполяция убытков в хвост — основа премий за CatXL и Stop Loss.
- •Climate risk modelling. IPCC использует EVT для оценки изменения экстремальных температур, осадков под изменением климата.
- •Operational risk. Severe loss events (rogue trader Société Générale 2008 — €4.9 млрд, JPMorgan London Whale 2012 — $6.2 млрд) — экстраполяция тяжёлых хвостов через POT-EVT.
Большинство классических методов статистики — оценка среднего, дисперсии, корреляции — работают «в центре» распределения. Но в риск-менеджменте важны крайние, редкие события: «100-летнее наводнение», крах рынка типа Black Monday, катастрофа уровня Чернобыля. Экстраполировать на основе нормального...
Проблема. Имеем n iid наблюдений X_1, ..., X_n. Как распределён максимум M_n = max(X_1, ..., X_n) при n → ∞?
Без нормировки M_n → +∞ (тривиально). Нормируем: ищем последовательности a_n > 0, b_n такие, что (M_n − b_n)/a_n сходится к невырожденному распределению.
Теорема Гнеденко (1943): если предел существует, он принадлежит обобщённому распределению экстремальных значений (GEV):
Виды стресс-тестов → Регуляторные стресс-тесты → Обратные стресс-тесты (Reverse Stress Tests) → Численный пример: портфель акций+облигаций → Liquidity Stress Tests → Реальные применения
| Сценарий | S&P | UST | Потери портфеля |
|---|---|---|---|
| Lehman 2008 | −37% | −2% (yield up) | 60·(−0.37) + 40·(−0.02) = −23.0 |
| COVID 2020 | −34% | +6% (yield down) | 60·(−0.34) + 40·(0.06) = −18.0 |
| 1987 BlackMon | −20.5% | +3% | 60·(−0.205) + 40·(0.03) = −11.1 |
| Stagflation | −40% | −15% | 60·(−0.40) + 40·(−0.15) = −30.0 |
- •Великая депрессия 1929-1933.
- •Чёрный понедельник 19 октября 1987 (S&P −20.5% за день).
- •Азиатский кризис 1997-1998 (девальвация валют, дефолт LTCM).
- •9/11 2001 (закрытие рынков, падение авиации, страхования).
- •Lehman Brothers 15 сентября 2008 (паралич межбанковского рынка).
- •COVID 2020 (S&P −34% за месяц, нулевые ставки, выкупы Fed).
- •Banking crisis 2023 (SVB, Signature, Credit Suisse, First Republic).
- •«Что если ставки вырастут на 400 б.п. за квартал?»
- •«Что если доллар упадёт на 30%?»
- •«Что если Китай devalue юань на 20%?»
- •«Что если дефолт крупнейшего корпоративного контрагента?»
- •Параллельный сдвиг кривой ставок (+100, +200 б.п.).
- •Twist (короткий конец вверх, длинный вниз).
- •Шок волатильности (+50%).
- •Расширение спредов (+200 б.п. для investment grade, +500 б.п. для high yield).
- •Страховщики: природные катастрофы 1-в-200-лет (Solvency II).
- •Банки: дефолт сектора недвижимости.
- •Пенсионные фонды: longevity shock + ставка снижается.
- •Baseline: базовый прогноз экономики.
- •Adverse: умеренная рецессия.
- •Severely Adverse: глубокий кризис.
- •Реальный ВВП США −7.6% (через 6 кварталов).
- •Безработица 10% (с текущих 3.7%).
- •S&P 500 −55%, цены недвижимости −36%.
- •Инверсия кривой, спреды +500 б.п.
- •ВВП Еврозоны −5.5%, Японии −5.0%.
- •Банк A: обратный стресс-тест показывает, что капитал обнуляется при: ставки +5% И падение недвижимости 40% И NPL 15%. Если эти события не независимы (что вероятно) — нужно изучить корреляции.
- •Страховщик B: «уход» пандемии + цены акций −60% + ставки 0% — комбинированный сценарий, потеря 80% капитала.
- •Розничные депозиты: 5–10%.
- •Корпоративные: 25–40%.
- •Wholesale unsecured: 100%.
- •Drawdowns по кредитным линиям: 5–10% retail, 30% wholesale.
- •Crisis 2008. Citigroup TARP $45 млрд после провала первоначального стресс-теста. AIG $182 млрд bail-out — тест не учёл concentration в CDS.
- •EBA 2023. Все 70 банков прошли (минимум CET1 8.5%), но Bank of Cyprus и Banca Monte dei Paschi на грани. Системно важные (BNP, Santander) — комфортный буфер.
- •Solvency II ORSA (Own Risk and Solvency Assessment). Каждая страховая компания обязана раз в год проводить внутренние стресс-тесты с собственными сценариями.
- •Cyber stress tests. Растущая практика: моделирование одновременной cyber-атаки на банк и его контрагентов. NIST 2.0, ENISA guidelines.
После кризиса 2008 года регуляторные стресс-тесты стали обязательным инструментом банковского риск-менеджмента. Они дополняют статистические модели (VaR, CVaR) анализом конкретных кризисных сценариев, отвечающих на вопрос «что произойдёт при X?». Стресс-тесты позволяют выявить уязвимости, не види...
Преимущества: реалистичные, учитывают реальные корреляции. Недостаток: «backwards-looking», следующий кризис может быть иным.
2. Гипотетические сценарии. Моделирование несостоявшихся, но правдоподобных событий:
Полная переоценка портфеля. Корреляции при стрессе часто выше нормальных — «всё падает вместе» (correlation breakdown).
Классификация операционных рисков → Модели капитала под операционный риск → Особенности оценки операционного риска → Численный пример → Cyber Risk → Управление операционным риском → Реальные применения
Формулы
- •Частота: N ~ Poisson(λ) или NegBin (для overdispersion).
- •Тяжесть: X ~ LogNormal или GPD (для тяжёлых хвостов).
- •Суммарный годовой убыток в ячейке: S = Σ X_i.
- •Мало данных для хвостов. Действительно крупные потери редки (1-2 раза в десятилетие на банк) → недостаточно для калибровки распределения тяжести.
- •External data (consortium data). ORX (Operational Riskdata eXchange) — международный консорциум из 100+ банков, делящихся (анонимизированно) данными об убытках. Помогает калибровать хвост.
- •Scaling. Внешние данные не идентичны портфелю банка — нужно нормировать на размер организации (по выручке, активам).
- •Non-stationarity. Профиль рисков меняется со временем (новые продукты, новые угрозы — кибер).
- •40 событий < $1M.
- •8 событий $1-10M (средний $4M).
- •2 события > $10M (один $25M, один $50M).
- •Симулировать N ~ Poisson(10).
- •Для каждого из N событий — выборка X из композитного распределения.
- •S_year = Σ X.
- •E[S] = $9M.
- •σ(S) = $25M.
- •VaR_{0.999}(S) ≈ $180M. Это OpRisk Capital по AMA.
- •VaR_{0.99}(S) ≈ $80M.
- •Чрезвычайно тяжёлые хвосты (ξ > 0.5 для размера breaches).
- •Систематичность: одна уязвимость может ударить по всей отрасли (NotPetya 2017, Log4Shell 2021).
- •Корреляция с другими рисками (cyber-related financial fraud).
- •WannaCry (май 2017): £92M убыток NHS UK, $4–8 млрд глобально.
- •NotPetya (июнь 2017): $10+ млрд глобально (Maersk, FedEx, Merck).
- •SolarWinds (декабрь 2020): компрометация 18 000+ организаций.
- •Colonial Pipeline ransomware (май 2021): paid $4.4M, stoppage 6 дней.
- •MOVEit (2023): >2000 организаций, 60+ млн записей.
- •Доступность IT-систем (% uptime).
- •Число ошибок транзакций per 1000.
- •Текучесть персонала (особенно в trading, IT-security).
- •Backlog в operations.
- •Failed audit findings.
- •Идентифицируют ключевые риски.
- •Оценивают inherent risk (без контролей).
- •Описывают существующие контроли.
- •Оценивают residual risk (с контролями).
- •Gap analysis → план действий.
- •Société Générale 2008. Жером Кервьель открыл несанкционированные позиции на €50 млрд (notional). Потеря €4.9 млрд при unwinding. Урок: контроли trading limits, IT-security, four-eyes principle.
- •JPMorgan «London Whale» 2012. Бруно Иксил, синтетические кредитные позиции. Потери $6.2 млрд. Урок: model risk, supervision.
- •Wells Fargo fake accounts 2016-2018. 3.5 млн фальшивых аккаунтов клиентов под давлением sales targets. Штрафы $3+ млрд, увольнение CEO. Урок: incentive misalignment.
- •Knight Capital 2012. Ошибка deployment алгоритма HFT. Потеря $440M за 45 минут. Банкротство. Урок: deployment процессы, kill switches.
- •Credit Suisse Archegos 2021. $5.5 млрд потерь от family office Bill Hwang. Урок: counterparty risk, transparency требований margin.
Операционный риск — риск убытков вследствие недостаточных или неудовлетворительных внутренних процессов, людей, систем или внешних событий. Это не «модный» риск (как кредитный или рыночный), но один из самых разрушительных: Société Générale потеряла €4.9 млрд из-за rogue trader Жерома Кервьеля (2...
Типология Basel — 7 категорий событий: 1. Внутреннее мошенничество. Несанкционированные сделки, кража, преднамеренное искажение отчётности. 2. Внешнее мошенничество. Кража, взлом, фишинг, киберпреступления извне. 3. Практика найма и безопасность работников. Дискриминация, harassment, нарушения тр...
8 бизнес-линий (Basel): 1. Корпоративные финансы. 2. Trading & Sales. 3. Розничный банкинг. 4. Коммерческий банкинг. 5. Платежи и расчёты. 6. Агентские услуги. 7. Управление активами. 8. Розничная брокерская деятельность.
Матрица 7×8 = 56 ячеек, для каждой — отдельная модель убытков. Регулятор требует данные за ≥ 10 лет из OpRisk базы.