Шпаргалка

Теория риска и актуарная математика

Все темы на одной странице

5модулей

15статей

2определений

12формул

Основы теории риска и страхования

Классификация рисков, меры риска и основы страховой математики

Природа риска и классификация

Определение и виды риска → Частота и тяжесть убытков → Закон больших чисел в страховании → Численный пример: автостраховой портфель → Реальные применения

Определения

Риск: — возможность наступления нежелательного события с некоторой вероятностью, влекущего финансовые потери. Формально: случайная величина X, описывающая убыток (или доходность с отрицательным знаком), плюс вероятностная мера на пространстве элементарных...

Формулы

Формулы для S: E[S] = E[N]·E[X], Var[S] = E[N]·Var[X] + Var[N]·E[X]² (формула Wald-style).

·Чистый риск: только возможность убытка (пожар, болезнь, авария). Идеальная сфера страхования.
·Спекулятивный риск: возможность и убытка, и прибыли (инвестиции, валютный курс). Управляется хеджированием, диверсификацией.
·Страховой риск (insurable): случайный, измеримый, есть большое число однородных единиц, убыток некатастрофический.
·Финансовый риск: рыночный (цены акций, ставки), кредитный (дефолт), ликвидности (невозможность быстро продать).
·Операционный риск: ошибки процессов, систем, персонала, внешних событий.
·Системный риск: коррелированные потрясения всей системы (кризис 2008, COVID-2020).
·Пуассоновское: P(N = k) = e^{−λ}·λ^k/k!, E[N] = λ, Var[N] = λ. Идеально для редких независимых событий (пожары, аварии).
·Биномиальное: фиксированное n рисков, каждый дефолтит с вероятностью p. E[N] = n·p, Var[N] = n·p·(1−p).
·Отрицательное биномиальное: гетерогенный портфель — Var > E (overdispersion).
·Экспоненциальное: f(x) = λ·e^{−λ·x}, E[X] = 1/λ. Лёгкий хвост, мало катастроф.
·Логнормальное: ln X ~ N(μ, σ²). Умеренный хвост, классика для страховых убытков.
·Парето: P(X > x) = (θ/(θ+x))^α. Тяжёлый хвост — катастрофы возможны. Используется для пожаров, наводнений, кибер-атак.
·Принцип ожидаемого значения: P = (1 + θ)·E[X], θ ≈ 0.1–0.5.
·Принцип стандартного отклонения: P = E[X] + λ·σ(X).
·Принцип дисперсии: P = E[X] + α·Var[X].
·Эспоненциальный (Esscher): P = (1/α)·ln E[e^{α·X}] — связан с теорией полезности.
·Автострахование (КАСКО, ОСАГО). Россия: рынок 250+ млрд руб./год. Тарифные коэффициенты строятся на основе compound-моделей с дискриминацией по возрасту, опыту, региону, мощности.
·Здравоохранение. Bismarck-системы (Германия, Япония) и market-based (США) используют actuarial-модели для расчёта премий с учётом возраста, образа жизни.
·Корпоративное страхование. Полисы D&O (директоров), кибер-страхование, страхование business interruption — экзотические модели с тяжёлыми хвостами.
·Перестрахование (Munich Re, Swiss Re). Глобальные перестраховщики управляют портфелями катастрофических рисков на десятки миллиардов долларов — наш аппарат частоты-тяжести с поправками на корреляции.

Любая экономическая деятельность сопряжена с неопределённостью: пожар может уничтожить склад, заёмщик может не вернуть кредит, цена нефти может рухнуть, а пандемия — парализовать целые отрасли. Актуарная наука превращает «страхи» в числа: формализует риск, количественно оценивает его и предлагает...

Риск — возможность наступления нежелательного события с некоторой вероятностью, влекущего финансовые потери. Формально: случайная величина X, описывающая убыток (или доходность с отрицательным знаком), плюс вероятностная мера на пространстве элементарных исходов.

Критерии страхуемости (insurability): случайность (не зависит от воли страхователя), определённость (можно измерить убыток), независимость (между страхователями), большое число однородных рисков (для закона больших чисел), приемлемая премия. Не все риски страхуемы: ядерная катастрофа, война, репу...

Композитная модель Compound: Суммарный годовой убыток S = X_1 + X_2 + ... + X_N, где N — случайное число убытков (частота, frequency), X_i — размер i-го убытка (тяжесть, severity). Стандартное предположение — независимость N и {X_i}, и независимость X_i между собой.

Меры риска: VaR, CVaR и когерентные меры

Value at Risk (VaR) → Численный пример → Недостатки VaR → Conditional Value at Risk (CVaR / Expected Shortfall) → Когерентные меры риска (Artzner et al., 1999) → Спектральные меры риска → Численный пример: субаддитивность VaR vs. CVaR → Реальные применения

Определения

VaR не когерентен: — нарушает субаддитивность. CVaR когерентен.

Формулы

Определение: VaR_α(X) = inf{x: P(X ≤ x) ≥ α} — α-квантиль распределения убытков X.Определение: CVaR_α(X) = E[X | X > VaR_α(X)] — ожидаемый убыток при условии, что он превышает VaR_α.

·Не учитывает «масштаб бедствия» за порогом. Два портфеля с одинаковым VaR могут иметь радикально разные убытки в худшие 1%: один теряет 5 млн, другой — 50 млн.
·Не субаддитивен. Известны примеры X, Y: VaR(X + Y) > VaR(X) + VaR(Y). Нарушает принцип «диверсификация снижает риск» — нежелательно для риск-менеджмента.
·Игнорирует корреляционную структуру хвостов. В кризисах корреляции между активами растут — VaR это не улавливает.
·Solvency II (Европа, страхование): SCR = VaR_{0.995} на 1 год для каждого риска.
·Basel III (банки, рыночный риск): переход с VaR на ES (CVaR_{0.975}) в FRTB (с 2023 г.).
·IORP II (пенсии): комбинация VaR, ES и стресс-тестов.
·Trading-floor (банки). Дневной VaR-лимит на каждый desk: 5–10 млн USD типично для большого банка. Превышение → escalation, разбор причин.
·Страховые компании (Solvency II). SCR = VaR_{0.995} на горизонт 1 год. Crédit Agricole Assurances: SCR ≈ €15 млрд, capital ratio 240%.
·Пенсионные фонды. UK USS, Dutch ABP оценивают liability-VaR при пессимистичных сценариях ставок и долгожительства.
·Криптовалютные биржи. Risk engine для маржинальной торговли использует VaR в реальном времени для расчёта margin requirements.

Сказать «портфель рискованный» недостаточно для регулятора, акционера или риск-менеджера. Нужны числа: «с вероятностью 99% дневной убыток не превысит X», «капитал должен быть не менее Y». Меры риска — формальные числовые характеристики «опасности» распределения убытков. От их выбора зависит, скол...

Определение: VaR_α(X) = inf{x: P(X ≤ x) ≥ α} — α-квантиль распределения убытков X.

В терминах потерь: VaR_α — наименьший убыток, который превышается с вероятностью не более 1 − α. Например, VaR_{0.99} = 1 млн руб. означает: «с вероятностью 99% убыток ≤ 1 млн». В среднем 1 раз из 100 дней он будет превышен.

Расшифровка символов. α — доверительный уровень (обычно 0.95, 0.99, 0.995). X — случайный убыток (положительные значения = потери).

Перестрахование и управление рисковым портфелем

Виды перестрахования → Оптимальное перестрахование → Cat Bonds (катастрофные облигации) → Численный пример: эффект XL-перестрахования → Реальные применения

·Платёж перестраховщика: min(max(X − d, 0), u − d).
·Удержание цедента: min(X, d) + max(X − u, 0).
·Indemnity: фактический убыток страховщика.
·Industry index: общеотраслевой убыток (PCS index).
·Parametric: значение природного параметра (магнитуда, скорость ветра в точке).
·Modeled loss: убыток по предопределённой модели.
·E[Y] = E[min(S, 2)] + E[max(S − 5, 0)] + 0.4 ≈ 1.31 + 0.27 + 0.4 = 1.98 млн (выше E[S] на 0.33 млн — стоимость перестрахования).
·σ(Y) ≈ 0.85 млн (резко ниже σ(S) = 1.48 млн).
·VaR_{0.99}(Y) ≈ 2 + (max(S − 5, 0))_{0.99} ≈ 4.6 млн (vs. 7.61 млн без перестрахования).
·CVaR_{0.99}(Y) ≈ 5.5 млн (vs. 9.52 млн).
·Munich Re, Swiss Re, Hannover Re. Топ-3 перестраховщика мира, премии $50–60 млрд каждый. Перестраховывают риски от природных катастроф, авиации, морского страхования, кибер.
·Lloyd's of London. Уникальный синдикатный рынок: 70+ синдикатов, специализирующихся на сложных рисках (искусство, морские пираты, отмена концертов). Premium ≈ £45 млрд/год.
·Florida Hurricane Catastrophe Fund. Государственный «перестраховщик» Флориды для ураганов. После Andrew (1992) и Wilma (2005) реструктурирован, использует Cat Bonds.
·Pandemic Bond Всемирного банка (2017). $320 млн на покрытие пандемий в развивающихся странах. Сработал в марте 2020 — выплата $195 млн (но многих критиковала за слишком жёсткие триггеры).

Страховщик сам не застрахован: ураган, эпидемия или массовое банкротство могут уничтожить капитал крупнейшей компании. Решение — перестрахование, «страхование страховщика». Часть рисков передаётся перестраховщику (Munich Re, Swiss Re, Hannover Re), который специализируется на принятии катастрофич...

1. Пропорциональное (Quota Share, QS). Перестраховщик берёт фиксированную долю q каждого убытка и получает долю q страховой премии. Цедент (direct insurer) удерживает (1 − q)·X.

Пример: q = 30%. Убыток 1 млн → перестраховщик платит 300 тыс., цедент — 700 тыс. Премии распределяются так же.

Преимущества: простота, стабильность отношений. Недостаток: цедент платит и за «мелкие» убытки, которые мог бы себе позволить.

Актуарная математика: теория надёжности

Функции дожития, таблицы смертности и пожизненное страхование

Теория дожития и демографические таблицы

Функции дожития → Параметрические модели → Таблицы смертности → Численный пример → Selection effect и underwriting → Реальные применения

·F(x) = P(X ≤ x) = 1 − S(x) — функция распределения.
·f(x) = F'(x) = −S'(x) — плотность.
·Интенсивность смертности (force of mortality): μ(x) = f(x)/S(x) = −d ln S(x)/dx.
·_t·p_x = P(X > x + t | X > x) = S(x+t)/S(x) — вероятность дожить из x ещё t лет.
·_t·q_x = 1 − _t·p_x — вероятность смерти в (x, x+t].
·p_x = _1·p_x, q_x = _1·q_x — годовая вероятность дожить/умереть.
·l_x — число доживающих до x из l_0 = 100 000 (или 1 000 000) условной когорты.
·d_x = l_x − l_{x+1} — число умирающих в год x.
·q_x = d_x / l_x — годовая вероятность смерти.
·p_x = 1 − q_x.
·ė_x = (l_{x+1} + l_{x+2} + ... + l_{110})/l_x + 0.5 (поправка на середину года) — ожидаемая остаточная жизнь.
·Страхование жизни. Расчёт нетто-премий, резервов, дивидендов participating polices. Реальные таблицы у российских страховщиков — РФ-смертность с поправками на селекцию.
·Пенсионные фонды. Оценка обязательств по выплате пожизненных пенсий. Ошибка в e_65 на 1 год → ~5% дополнительных обязательств → миллиарды для крупных фондов (UK USS, Dutch ABP).
·Государственные пенсионные системы. Социальный фонд России, US Social Security проектируют долгосрочные дефициты на основе projected mortality.
·Медицинское страхование. Премии по возрасту, расчёт ожидаемых затрат на лечение по когортам.
·Annuities (пожизненные ренты). Pricing — обратная задача: премия за гарантированную пожизненную выплату X руб./мес. на основе e_x и ставки.

Страховщик жизни заключает контракт на 30, 50, 70 лет вперёд: расчёт премии и резервов требует количественной модели смертности. Актуарная математика жизни строится на анализе случайной величины «время жизни» T_x — остаточной продолжительности жизни человека возраста x. Таблицы смертности — главн...

Функция дожития: S(x) = P(X > x) — вероятность дожить до возраста x. S(0) = 1, S(∞) = 0, S убывает.

Расшифровка μ(x): мгновенная вероятность смерти на единицу времени при условии дожития до x. Аналог hazard rate в анализе выживаемости.

1. Экспоненциальное (постоянная смертность): μ(x) = λ. S(x) = e^{−λ·x}, ė_x = 1/λ. Слишком упрощённо: в реальности смертность зависит от возраста.

Пожизненные ренты и страхование жизни

Актуарское дисконтирование → Пожизненное страхование → Рекуррентное соотношение → Пожизненные ренты (annuities) → Фундаментальное тождество → Net Premium (нетто-премия) → Численный пример: мужчина 40 лет, i = 5% → Реальные применения

Формулы

Temporary Annuity (срочная): ä_{x:n|} = Σ_{k=0}^{n−1} v^k · _k·p_x.

·_n·E_x = v^n · _n·p_x — современная стоимость выплаты 1 руб. через n лет при условии дожития. Объединяет дисконтирование (v^n) и вероятность (_n·p_x).
·Страхование жизни. Россия (СОГАЗ, Альфа-Страхование жизни) — премии по таблицам РФ-смертности с консервативной ставкой 3–4%. Западные (Allianz, Manulife) — 1–2% (низкие ставки).
·Аннуитеты пенсионного обеспечения. Пенсионер передаёт страховщику капитал C, получает пожизненную ренту X = C/ä_65. Для мужчины 65 лет, i = 3%: ä_65 ≈ 13.5, X ≈ C/13.5.
·Variable Annuities с гарантиями (US, JP). Триллионные обязательства, требуют динамического хеджирования (delta, vega, longevity).
·Резервы в IFRS 17. Современный учёт страховых обязательств требует тщательного актуарного расчёта V_t для каждой когорты полисов.

Страховые продукты длинного горизонта — пожизненное страхование, ренты, эндаументы — стержень классической актуарной математики. Их оценка требует не только знания смертности, но и грамотного дисконтирования будущих платежей с учётом вероятности дожития. Принцип эквивалентности (E[взносы] = E[вып...

Дисконт-фактор: v = 1/(1 + i), где i — годовая процентная ставка. Современная стоимость 1 руб. через t лет: v^t = (1 + i)^{−t}.

Whole Life Insurance (страхование на всю жизнь). Выплата 1 руб. в момент смерти, когда бы она ни произошла. Современная стоимость в актуарном смысле:

Нижнее подчёркивание означает «непрерывная» выплата (в момент смерти, а не в конце года). Без подчёркивания: A_x = Σ_{k=0}^∞ v^{k+1} · _k·p_x · q_{x+k} (выплата в конце года смерти).

Пенсионные системы и долгосрочные обязательства

Типы пенсионных планов → Актуарная оценка пенсионных обязательств → Asset-Liability Management (ALM) → Численный пример: оценка обязательств плана → Реальные применения

·IAS 19 (Европа, IFRS-страны): ставка высококачественных корпоративных облигаций (AA-rated). При снижении ставки на 100 б.п. — PVO растёт на 10–15%.
·ASC 715 (US GAAP): аналогично.
·GASB (США, публичные планы): историческая доходность портфеля (часто завышена 7–8%). Создаёт иллюзию устойчивости.
·Hedging portfolio: 60–80% активов в долгосрочных облигациях, swaps, для дюрации обязательств.
·Return portfolio: 20–40% в акциях, альтернативах, для дополнительной доходности.
·При i = 3% (вместо 4%): v^20 = 0.554, ä_65 ≈ 16.3. PVO ≈ 776 млн (+35%).
·При e_65 +1 год (ä_65 → 15.7): PVO ≈ 608 млн (+6%).
·Газпром, Газфонд. Крупнейший НПФ России, обязательства > 500 млрд руб. Актуарные расчёты по ИПС-системе.
·CalPERS (California Public Employees). $440 млрд активов, 2 млн участников. Discount rate снижен с 7.5% до 6.8% (2021), вызвало пересмотр обязательств +$100 млрд.
·UK USS (Universities Superannuation Scheme). £75 млрд, 460 000 участников. Кризис финансирования 2018-2023 — спор о discount rate, забастовки преподавателей.
·GPIF (Government Pension Investment Fund of Japan). Крупнейший пенсионный фонд мира ($1.6 трлн). Hybrid LDI с большим аллокированием в акции для борьбы с долголетием японцев (e_65 = 21 год).

Пенсионные фонды управляют самыми долгосрочными финансовыми обязательствами в мире — выплаты обещаны через 30, 50, иногда 70 лет. Актуарный анализ пенсионных систем охватывает три компонента: оценку обязательств (PVO), формирование резервов и активов, управление процентным и долголетийным риском ...

Defined Benefit (DB) — пенсия с установленными выплатами. Работодатель обязуется платить пенсию по формуле, обычно: пенсия = b · стаж · финальная зарплата, где b ≈ 1.5–2.5%. Например: 25 лет стажа × 2% × 100 000 руб. = 50 000 руб./мес. пожизненно.

Все актуарные риски (долголетие, инвестиционные доходности, инфляция) несёт работодатель/спонсор. Это классическая модель XX века (US Social Security, UK State Pension, российская страховая пенсия).

Defined Contribution (DC) — пенсия с установленными взносами. Работодатель и/или работник вносят фиксированный % зарплаты (обычно 5–15%) на индивидуальный счёт. Пенсия = накопленный счёт ÷ ё_65 (или конвертация в аннуитет).

Теория надёжности систем

Отказы систем, FTA, RBD и техническое обслуживание

Функции надёжности и анализ отказов

Основные функции надёжности → Кривая «ванна» (bathtub curve) → Параметрические модели → Структурная надёжность систем → Fault Tree Analysis (FTA) и Reliability Block Diagrams (RBD) → Численный пример → Реальные применения

Формулы

Интенсивность отказов (hazard rate, failure rate): h(t) = f(t)/R(t) = −d ln R(t)/dt.

·β < 1: h убывает (infant mortality).
·β = 1: экспоненциальное (useful life).
·β > 1: h растёт (wear-out).
·β = 2: «Rayleigh distribution» — линейный рост h.
·AND: верхнее событие требует всех входных (произведение вероятностей).
·OR: достаточно одного входа.
·Авиация. Boeing 787, Airbus A350: каждая критическая система (полётное управление, гидравлика, авионика) тройное резервирование. Расчётная вероятность отказа FCS < 10⁻⁹/час.
·Атомная энергетика. WANO benchmark: вероятность плавления активной зоны < 10⁻⁵/реактор-год. После Фукусимы — пересмотр стандартов, дополнительные системы безопасности.
·Автомобилестроение. ISO 26262 ASIL D (для airbag, ABS): требования R(10 лет) > 1 − 10⁻⁹. Проверяется FMEDA + FTA.
·Медицина. Кардиостимуляторы (Medtronic, St. Jude): MTBF > 8 лет, расчётный MTTF > 12 лет. Тестирование accelerated life testing.
·IT-инфраструктура. AWS, Azure SLA 99.99% (≈ 53 мин даунтайма/год). Достигается резервированием data centers (multi-AZ deployment).

Современные технические системы — самолёты, ядерные реакторы, медицинское оборудование — насчитывают миллионы компонентов. Отказ любого может стоить жизней и миллиардов. Теория надёжности изучает вероятность безотказной работы и предлагает количественные методы для оценки и проектирования систем ...

Функция надёжности (reliability function): R(t) = P(T > t) — вероятность безотказной работы до момента t. Аналог функции дожития S(x) в актуарной математике. R(0) = 1, R(∞) = 0.

Интенсивность отказов (hazard rate, failure rate): h(t) = f(t)/R(t) = −d ln R(t)/dt.

Расшифровка h(t): мгновенная вероятность отказа в момент t при условии, что компонент работал до t. Аналог μ(x) в теории дожития. Восстановление: R(t) = exp(−∫_0^t h(s) ds).

Стратегии технического обслуживания

Типы стратегий ТО → Оптимальный интервал профилактического ТО → Численный пример: насос → Возрастная замена vs. блочная → Reliability Centered Maintenance (RCM) → Примеры с реальными цифрами → Реальные применения

T_p	R(T_p)	F(T_p)	∫R dt	ECPU
200	0.982	0.018	198	2.94
400	0.881	0.119	380	2.73
600	0.692	0.308	522	3.62
800	0.456	0.544	615	4.79

·Без PM: ECPU = C_f / E[T] = 5000 / 887 (среднее Вейбулл) = 5.64 у.е./ч (вдвое хуже).
·Слишком частый PM (T = 100): ECPU = 5.0 (тоже хуже из-за «лишних» замен).
·On-Condition (CBM по индикаторам).
·Hard Time (фиксированный ресурс, замена по налётам).
·Failure Finding (тестирование скрытых функций — пожарная сигнализация и т.п.).
·Servicing/Lubrication.
·Авиадвигатели CFM56 (Boeing 737 NG). Heavy maintenance каждые 24 000 циклов взлёт-посадка. Стоимость: $4–6 млн. Расчёт оптимального ресурса — комбинация Вейбулл-моделей для каждой детали.
·Газовые турбины GE 9HA. CBM на основе вибродиагностики, температуры выхлопа, давления. Сокращает downtime на 30% vs. фиксированный график.
·Ветрогенераторы. Lifetime 20–25 лет, ТО гидро/электросистем критично (ремонт в открытом море дорог). Vestas, Siemens Gamesa используют CBM с remote monitoring.
·Авиация (Lufthansa Technik, AAR Corp). Базовые проверки A, B, C, D check (от 250 ч до 12 лет). RCM-анализ для каждой системы. Затраты 3000–8000 USD/час налёта.
·Нефтегаз (Shell, ExxonMobil). Оборудование платформ, трубопроводов: stop loss от unplanned shutdown >$10M/день. CBM с тысячами IoT-датчиков.
·Железные дороги. РЖД, Deutsche Bahn — predictive maintenance подвижного состава, путей. Akustic monitoring для подшипников.
·ЦОД и IT. Hard drive replacement: статистика Backblaze показывает Вейбулл-распределение, оптимально PM на 5–7 году.
·Медицинское оборудование. МРТ (Siemens, GE): CBM по магниту (helium pressure), gradient coils. Незапланированный отказ — потеря ~$50K/день.

Любая техника требует обслуживания, но «слишком много» ТО — это потеря денег и времени, «слишком мало» — катастрофические отказы. Оптимальная стратегия ТО балансирует затраты на профилактику и стоимость отказов. Математические модели позволяют выбрать оптимальные интервалы и виды обслуживания. Эт...

1. Реактивное (Corrective Maintenance, CM). «Ломается — чиним». Минимум планирования, максимум стоимости простоя. Эффективно при дешёвых компонентах (лампочки) и низкой стоимости отказа.

2. Профилактическое (Preventive Maintenance, PM). ТО по фиксированному интервалу T (например, замена масла каждые 10 000 км) независимо от состояния. Снижает вероятность отказа, но порождает «лишние» ТО для компонентов, которые ещё могли бы работать. Стандарт автомобильной и авиационной отраслей ...

3. Предсказательное / Condition-Based Maintenance (CBM). ТО при достижении компонентом порогового уровня деградации, измеряемого датчиками. Требует мониторинга (IoT, вибродиагностика, анализ масла, термография). Оптимально экономически, но требует инвестиций в датчики и аналитику. Стандарт XXI ве...

Надёжность программного обеспечения и системная безопасность

Особенности надёжности ПО → Модели надёжности ПО → Численный пример → Функциональная безопасность (IEC 61508) → Архитектуры с резервированием → HAZOP (Hazard and Operability Study) → Численный пример: SIL для защитной системы → Реальные применения

SIL	PFD (low demand)	PFH (high demand)	Требуемое снижение риска
1	10⁻² – 10⁻¹	10⁻⁶ – 10⁻⁵	10–100×
2	10⁻³ – 10⁻²	10⁻⁷ – 10⁻⁶	100–1000×
3	10⁻⁴ – 10⁻³	10⁻⁸ – 10⁻⁷	1000–10000×
4	10⁻⁵ – 10⁻⁴	10⁻⁹ – 10⁻⁸	10000–100000×

·Отказы детерминированы: одни входные данные → одна и та же ошибка. «Случайность» отказов ПО — это случайность входных данных и состояний.
·Нет физического износа: ПО не стареет в аппаратном смысле.
·Нет «кривой ванны»: после введения в эксплуатацию число дефектов снижается со временем (за счёт исправлений).
·Дефекты вносятся при разработке: bugs — в код, design flaws — в архитектуру.
·Возможна ли причина?
·Каковы последствия?
·Существует ли защита?
·Что рекомендуется?
·Boeing 737 MAX MCAS катастрофы (2018-2019). Архитектура 1oo1 (один датчик угла атаки) для критичной функции — нарушение принципов IEC 61508. После переработки — 2oo2 с принципом отделения (раз. ист...
·Tesla Autopilot. ASIL D компоненты (тормоза, рулевое) — TMR. Camera + radar + ultrasonic — sensor fusion для снижения CCF.
·АЭС (ВВЭР, EPR). 4-х канальные защиты ректора. Diversity: разные принципы (механические + электронные).
·Therac-25 (1985-1987). Линейный ускоритель медицинской облучательной терапии. Race condition в ПО → передозировка облучения, 6 смертей. Урок: software-only safety без hardware interlock — недопустимо.
·Ariane 5 Flight 501 (1996). Переполнение 16-битного целого в навигации → потеря ракеты $370M. Reuse кода Ariane 4 без re-validation.

ПО становится критическим компонентом современных систем — самолёты Boeing 787 имеют ~10 млн строк кода, Tesla Model S — ~100 млн, F-35 — ~25 млн. Надёжность ПО принципиально отличается от аппаратной: ошибки детерминированы (одни и те же входы дают одну и ту же ошибку), не случайны, и ПО не «изна...

Mean Time To Failure (MTTF) для ПО имеет смысл только при стабильном профиле использования. Если паттерны входов меняются — MTTF меняется.

NHPP-модели (Non-Homogeneous Poisson Process). Кумулятивное число обнаруженных дефектов N(t) — NHPP с переменной интенсивностью λ(t). При обнаружении и исправлении дефектов λ(t) убывает.

1. Jelinski-Moranda (1972). Изначально N_0 дефектов. Интенсивность отказа в момент t: λ(t) = φ·(N_0 − n(t)), где n(t) — число обнаруженных к t. Каждый исправленный bug снижает λ на φ. Классическая модель, но переоценивает оставшиеся дефекты.

Кредитный риск и риск дефолта

Модели дефолта, кредитные деривативы и Basel

Моделирование кредитного риска

Структурные модели (Merton, 1974) → Расширения Мертона → Reduced-Form модели (Jarrow-Turnbull 1995, Duffie-Singleton 1999) → CDS Spread → Кредитные рейтинги и матрица миграции → Численный пример: Merton для компании → IFRS 9 и Expected Credit Loss (ECL) → Реальные применения

·AAA: P(default за 5 лет) = 0.05%.
·PD (Probability of Default): probabilistic over horizon (12 months или lifetime).
·LGD (Loss Given Default): 1 − R, обычно 35–50% для unsecured loans.
·EAD (Exposure at Default): остаток долга в момент дефолта.
·Корпоративное кредитование. Сбербанк, Альфа: внутренние модели PD (logistic regression на финансовых показателях + behavioral data), LGD, EAD. RWA-расчёт по Basel IRB.
·CDS-рынок. $9 трлн notional outstanding. ICE Clear Credit, LCH SwapClear как central counterparties.
·Crisis 2008. AIG продал $400 млрд CDS на subprime MBS, не имея капитала покрыть дефолты — государственный bail-out $182 млрд.
·Moody's Credit Monitor / KMV. Используется > 200 банками для мониторинга PD клиентов в реальном времени.
·Кредитные карты, потребкредит. FICO score (US), Equifax (UK), НБКИ (Россия) — упрощённые reduced-form модели для розничного кредитования.

Кредитный риск — риск того, что заёмщик не выполнит обязательства — основной риск банков (60–70% RWA для коммерческих банков). Его управление регулируется Базельскими соглашениями. Математические модели кредитного риска критически важны для ценообразования корпоративных облигаций, CDS, расчёта ре...

Идея Мертона. Активы компании V_t моделируются как геометрическое броуновское движение: dV = μ·V·dt + σ·V·dW.

Долг компании D погашается в момент T. Дефолт наступает, если V_T < D (активов не хватает на долг).

Это колл-опцион на активы со страйком D! Применяя формулу Блэка-Шоулза: E_0 = V_0·N(d_1) − D·e^{−r·T}·N(d_2), где d_1 = (ln(V_0/D) + (r + σ²/2)·T)/(σ·√T), d_2 = d_1 − σ·√T.

Кредитные деривативы и корреляции

Credit Default Swap (CDS) → Виды кредитных деривативов → CDO и корреляционный риск → Gaussian Copula (Li, 2000) → Численный пример: CDO-транши → Провал в кризисе 2008 → Реальные применения

·Покупатель платит регулярный спред s (basis points в год от notional N) — обычно ежеквартально.
·При наступлении кредитного события (дефолт, банкротство, реструктуризация) — продавец компенсирует (1 − R)·N (loss given default).
·Single-name CDS. На конкретного эмитента.
·CDS Index (CDX, iTraxx). На портфель из 125 эмитентов. Стандартизованные транши.
·Credit-Linked Note (CLN). Облигация, выплаты по которой зависят от кредитных событий.
·Total Return Swap. Обмен полной доходности облигации на LIBOR + spread.
·CDO (Collateralized Debt Obligation). Структурированный продукт (см. ниже).
·Senior tranche (e.g., 30–100% потерь): последним получает убытки, AAA-рейтинг, низкий купон.
·Mezzanine tranche (e.g., 10–30%): средний приоритет, BBB-A рейтинг.
·Equity tranche (e.g., 0–10%): первым получает убытки, без рейтинга, высокий купон (или residual interest).
·Среднее число дефолтов: 5.
·При Z = −1.65 (5-й перцентиль): условная p_i ≈ 0.18, среднее 18 дефолтов.
·При Z = −2.33 (1-й перцентиль): p_i ≈ 0.30, ~30 дефолтов.
·E[L] = 0.05·(1 − 0.4) = 3%.
·VaR_{0.99}(L) ≈ 18%.
·VaR_{0.999}(L) ≈ 30%.
·Equity 0–10%: средний убыток ≈ 100·E[min(L, 10%)/10%] (отношение к notional трансе) ≈ 35%. Высокий риск.
·Mezzanine 10–30%: средний убыток ≈ 8% от notional. AAA для нижней половины, BBB для верхней.
·Senior 30–100%: убыток ≈ 0.3% от notional. AAA с почти нулевой вероятностью списания.
·Маргинальные распределения и корреляции — недостаточно. Нужны t-copulas (тяжёлые хвосты), wrong-way risk, stress-testing.
·Параметры калибровать на стрессовых периодах, не на «спокойных».
·Liquidity risk: даже при технически правильной оценке невозможно продать AAA-tranche по справедливой цене в панике.
·CDX/iTraxx торговля. Объём ~$5 трлн notional. Используется хедж-фондами для market-neutral стратегий, банками для хеджирования портфеля.
·Bespoke tranches. Customized CDOs для конкретных институциональных клиентов. Возродились с 2017 после исчезновения post-2008.
·CLO (Collateralized Loan Obligations). Аналог CDO для leveraged loans. Рынок $1+ трлн, активно используется в LBO-финансировании.
·Synthetic CDOs. На основе CDS, без реальных активов. Использовались для регуляторного арбитража, ныне ограничены.

Кредитные деривативы — финансовые инструменты, позволяющие торговать кредитным риском независимо от базовых облигаций. CDS (Credit Default Swap) и CDO (Collateralized Debt Obligation) сыграли ключевую роль в финансовом кризисе 2008 года: понимание их механики и опасностей корреляций — обязательны...

Структура. Двусторонний контракт между покупателем защиты (protection buyer) и продавцом (protection seller).

CDS — это страховка от кредитного риска, доступная без владения базовой облигацией (naked CDS). Это и инструмент хеджирования, и инструмент спекуляции.

Ценообразование (no-arbitrage). При постоянной h и R, в непрерывном времени: PV(premium leg) = s · ∫_0^T e^{−(r+h)·t} dt = s·(1 − e^{−(r+h)·T})/(r+h). PV(protection leg) = (1−R)·h · ∫_0^T e^{−(r+h)·t} dt.

Базельские соглашения и капитальные требования

Basel I (1988): простой каркас → Basel II (2004-2007): три столпа → Basel III (2010-2019): ответ на кризис 2008 → Basel III «Final» / Basel IV (2017-2023, имплементация до 2028) → Численный пример → Реальные применения

Формулы

RWA = K(PD, LGD, M, ρ) × EAD × 12.5, где K — функция капитала из модели Васичека (Asymptotic Single Risk Factor, ASRF):

·0%: денежные средства, госдолг ОЭСР.
·20%: межбанковские требования (банки ОЭСР).
·50%: ипотечные кредиты.
·100%: корпоративные кредиты, акции.
·Tier 1: акционерный капитал, нераспределённая прибыль.
·Tier 2: subordinated debt, hybrid instruments.
·CET1 ≥ 4.5% RWA (минимум).
·Capital Conservation Buffer: 2.5% CET1 (доступен в стрессе, но ограничивает выплаты дивидендов).
·Countercyclical Buffer: 0–2.5% CET1 (включается в фазу роста кредитования).
·G-SIB Surcharge: 1–3.5% для глобально системно значимых банков (G-SIBs).
·Total CET1 для крупного банка: 4.5 + 2.5 + 1.5 = 8.5%.
·SA-CCR (Standardized Approach for Counterparty Credit Risk). Замена Current Exposure Method для деривативов.
·FRTB (Fundamental Review of the Trading Book). Замена VaR на Expected Shortfall (97.5%) для рыночного риска. Liquidity horizons 10–120 дней по типам активов.
·Output Floor. RWA по внутренним моделям ≥ 72.5% от RWA по стандартизованному подходу. Ограничивает «model arbitrage».
·Operational Risk SMA (Standardised Measurement Approach). Замена AMA. Капитал = функция размера банка × Internal Loss Multiplier.
·€500 млн корпоративные кредиты (PD = 2%, LGD = 45%, M = 3 года).
·€200 млн межбанк (PD = 0.5%, LGD = 40%).
·€100 млн розничные ипотеки (PD = 1%, LGD = 25%).
·G-SIBs (JPMorgan, HSBC, ICBC, Sber). Самые жёсткие требования, тщательный пруденциальный надзор. CET1 14–17%.
·EBA Stress Tests (Европа). Раз в 2 года. 70 крупнейших банков ЕС симулируются в неблагоприятных сценариях. 2023: средний CET1 в severely adverse — 10.4% (vs. 15.0% baseline).
·DFAST/CCAR (США). ФРС-стресс-тесты для банков > $250 млрд активов. Запрет на дивиденды/buybacks при провале.
·Базель в России. ЦБ РФ адаптировал Basel III с 2014 г. Норматив Н1.0 ≥ 8%, Н1.1 ≥ 4.5%, Н1.2 ≥ 6%.
·Failures of Basel. Credit Suisse (2023): формально соответствовал Basel III (CET1 14%), но AT1 wipe-out (CHF 16 млрд) поставил под сомнение всю систему. Silicon Valley Bank (2023): не G-SIB, упрощё...

Базельские соглашения (Basel I, II, III, III «Final») — международный регуляторный стандарт банковского капитала, разработанный Базельским комитетом по банковскому надзору (BCBS) при Банке международных расчётов (BIS). Их цель — обеспечить достаточность капитала банков для поглощения убытков и сн...

Критика. Грубые весовые категории игнорируют качество внутри категорий (AAA-корпорация и BB-стартап — оба 100%). Нет учёта корреляций. Регуляторный арбитраж: банки секьюритизировали высококачественные активы, оставляя на балансе высокорискованные с тем же весом.

Стандартизованный подход (SA): внешние рейтинги (S&P, Moody's) → веса риска. AAA-AA: 20%, A: 50%, BBB: 100%, ниже BB: 150%.

IRB (Internal Ratings-Based). Банки используют внутренние модели для оценки PD, LGD, EAD. Регулятор задаёт формулу для RWA:

Экстремальные события и хвостовые риски

Теория экстремальных значений, катастрофы и стресс-тестирование

Теория экстремальных значений

Теорема Гнеденко-Фишера-Типпетта (GEV) → Метод Block Maxima → Generalized Pareto Distribution (GPD) → Оценка хвостового VaR → Численный пример → Mean Excess Function → Применения EVT → Реальные применения

Формулы

Связь GEV и GPD: ξ_GPD = ξ_GEV. Если максимумы — Fréchet, то превышения — Pareto.VaR_α(X) = u + (σ/ξ)·[(p_u/(1 − α))^{ξ} − 1] (при ξ ≠ 0).CVaR_α(X) = (VaR_α + σ − ξ·u)/(1 − ξ) при ξ < 1.

·ξ = 0 (Gumbel): лёгкие хвосты. Распределения: нормальное, лог-нормальное, экспоненциальное, гамма.
·ξ > 0 (Fréchet): тяжёлые хвосты, степенное затухание P(X > x) ~ x^{−1/ξ}. Распределения: Парето, Стьюдент с df < ∞, Cauchy. Финансовые убытки, наводнения, страховые иски.
·ξ < 0 (Weibull): ограниченный хвост (X ≤ x_max). Распределения: равномерное, бета. Редко в природных явлениях.
·Solvency II SCR. Страховые компании используют EVT для калибровки 1-в-200-лет сценариев катастроф. RMS, AIR Worldwide — основные провайдеры моделей.
·Basel FRTB. Stressed Expected Shortfall — calibration на стрессовом периоде, часто с EVT-методами для tail.
·Reinsurance pricing (Munich Re, Swiss Re). Экстраполяция убытков в хвост — основа премий за CatXL и Stop Loss.
·Climate risk modelling. IPCC использует EVT для оценки изменения экстремальных температур, осадков под изменением климата.
·Operational risk. Severe loss events (rogue trader Société Générale 2008 — €4.9 млрд, JPMorgan London Whale 2012 — $6.2 млрд) — экстраполяция тяжёлых хвостов через POT-EVT.

Большинство классических методов статистики — оценка среднего, дисперсии, корреляции — работают «в центре» распределения. Но в риск-менеджменте важны крайние, редкие события: «100-летнее наводнение», крах рынка типа Black Monday, катастрофа уровня Чернобыля. Экстраполировать на основе нормального...

Проблема. Имеем n iid наблюдений X_1, ..., X_n. Как распределён максимум M_n = max(X_1, ..., X_n) при n → ∞?

Без нормировки M_n → +∞ (тривиально). Нормируем: ищем последовательности a_n > 0, b_n такие, что (M_n − b_n)/a_n сходится к невырожденному распределению.

Теорема Гнеденко (1943): если предел существует, он принадлежит обобщённому распределению экстремальных значений (GEV):

Стресс-тестирование и сценарный анализ

Виды стресс-тестов → Регуляторные стресс-тесты → Обратные стресс-тесты (Reverse Stress Tests) → Численный пример: портфель акций+облигаций → Liquidity Stress Tests → Реальные применения

Сценарий	S&P	UST	Потери портфеля
Lehman 2008	−37%	−2% (yield up)	60·(−0.37) + 40·(−0.02) = −23.0
COVID 2020	−34%	+6% (yield down)	60·(−0.34) + 40·(0.06) = −18.0
1987 BlackMon	−20.5%	+3%	60·(−0.205) + 40·(0.03) = −11.1
Stagflation	−40%	−15%	60·(−0.40) + 40·(−0.15) = −30.0

·Великая депрессия 1929-1933.
·Чёрный понедельник 19 октября 1987 (S&P −20.5% за день).
·Азиатский кризис 1997-1998 (девальвация валют, дефолт LTCM).
·9/11 2001 (закрытие рынков, падение авиации, страхования).
·Lehman Brothers 15 сентября 2008 (паралич межбанковского рынка).
·COVID 2020 (S&P −34% за месяц, нулевые ставки, выкупы Fed).
·Banking crisis 2023 (SVB, Signature, Credit Suisse, First Republic).
·«Что если ставки вырастут на 400 б.п. за квартал?»
·«Что если доллар упадёт на 30%?»
·«Что если Китай devalue юань на 20%?»
·«Что если дефолт крупнейшего корпоративного контрагента?»
·Параллельный сдвиг кривой ставок (+100, +200 б.п.).
·Twist (короткий конец вверх, длинный вниз).
·Шок волатильности (+50%).
·Расширение спредов (+200 б.п. для investment grade, +500 б.п. для high yield).
·Страховщики: природные катастрофы 1-в-200-лет (Solvency II).
·Банки: дефолт сектора недвижимости.
·Пенсионные фонды: longevity shock + ставка снижается.
·Baseline: базовый прогноз экономики.
·Adverse: умеренная рецессия.
·Severely Adverse: глубокий кризис.
·Реальный ВВП США −7.6% (через 6 кварталов).
·Безработица 10% (с текущих 3.7%).
·S&P 500 −55%, цены недвижимости −36%.
·Инверсия кривой, спреды +500 б.п.
·ВВП Еврозоны −5.5%, Японии −5.0%.
·Банк A: обратный стресс-тест показывает, что капитал обнуляется при: ставки +5% И падение недвижимости 40% И NPL 15%. Если эти события не независимы (что вероятно) — нужно изучить корреляции.
·Страховщик B: «уход» пандемии + цены акций −60% + ставки 0% — комбинированный сценарий, потеря 80% капитала.
·Розничные депозиты: 5–10%.
·Корпоративные: 25–40%.
·Wholesale unsecured: 100%.
·Drawdowns по кредитным линиям: 5–10% retail, 30% wholesale.
·Crisis 2008. Citigroup TARP $45 млрд после провала первоначального стресс-теста. AIG $182 млрд bail-out — тест не учёл concentration в CDS.
·EBA 2023. Все 70 банков прошли (минимум CET1 8.5%), но Bank of Cyprus и Banca Monte dei Paschi на грани. Системно важные (BNP, Santander) — комфортный буфер.
·Solvency II ORSA (Own Risk and Solvency Assessment). Каждая страховая компания обязана раз в год проводить внутренние стресс-тесты с собственными сценариями.
·Cyber stress tests. Растущая практика: моделирование одновременной cyber-атаки на банк и его контрагентов. NIST 2.0, ENISA guidelines.

После кризиса 2008 года регуляторные стресс-тесты стали обязательным инструментом банковского риск-менеджмента. Они дополняют статистические модели (VaR, CVaR) анализом конкретных кризисных сценариев, отвечающих на вопрос «что произойдёт при X?». Стресс-тесты позволяют выявить уязвимости, не види...

Преимущества: реалистичные, учитывают реальные корреляции. Недостаток: «backwards-looking», следующий кризис может быть иным.

2. Гипотетические сценарии. Моделирование несостоявшихся, но правдоподобных событий:

Полная переоценка портфеля. Корреляции при стрессе часто выше нормальных — «всё падает вместе» (correlation breakdown).

Операционный риск и риск событий

Классификация операционных рисков → Модели капитала под операционный риск → Особенности оценки операционного риска → Численный пример → Cyber Risk → Управление операционным риском → Реальные применения

Формулы

1. Basic Indicator Approach (BIA). Капитал = 15% × средний валовой доход за 3 года. Простейший. Используется маленькими банками.2. Standardized Approach (TSA). Для каждой бизнес-линии — свой коэффициент β (12–18%). Капитал = Σ β_i × валовой доход_i.Capital = VaR_{0.999}(Σ_ячейки S) на горизонт 1 год. Сумма по ячейкам с учётом зависимостей (часто через copula).

·Частота: N ~ Poisson(λ) или NegBin (для overdispersion).
·Тяжесть: X ~ LogNormal или GPD (для тяжёлых хвостов).
·Суммарный годовой убыток в ячейке: S = Σ X_i.
·Мало данных для хвостов. Действительно крупные потери редки (1-2 раза в десятилетие на банк) → недостаточно для калибровки распределения тяжести.
·External data (consortium data). ORX (Operational Riskdata eXchange) — международный консорциум из 100+ банков, делящихся (анонимизированно) данными об убытках. Помогает калибровать хвост.
·Scaling. Внешние данные не идентичны портфелю банка — нужно нормировать на размер организации (по выручке, активам).
·Non-stationarity. Профиль рисков меняется со временем (новые продукты, новые угрозы — кибер).
·40 событий < $1M.
·8 событий $1-10M (средний $4M).
·2 события > $10M (один $25M, один $50M).
·Симулировать N ~ Poisson(10).
·Для каждого из N событий — выборка X из композитного распределения.
·S_year = Σ X.
·E[S] = $9M.
·σ(S) = $25M.
·VaR_{0.999}(S) ≈ $180M. Это OpRisk Capital по AMA.
·VaR_{0.99}(S) ≈ $80M.
·Чрезвычайно тяжёлые хвосты (ξ > 0.5 для размера breaches).
·Систематичность: одна уязвимость может ударить по всей отрасли (NotPetya 2017, Log4Shell 2021).
·Корреляция с другими рисками (cyber-related financial fraud).
·WannaCry (май 2017): £92M убыток NHS UK, $4–8 млрд глобально.
·NotPetya (июнь 2017): $10+ млрд глобально (Maersk, FedEx, Merck).
·SolarWinds (декабрь 2020): компрометация 18 000+ организаций.
·Colonial Pipeline ransomware (май 2021): paid $4.4M, stoppage 6 дней.
·MOVEit (2023): >2000 организаций, 60+ млн записей.
·Доступность IT-систем (% uptime).
·Число ошибок транзакций per 1000.
·Текучесть персонала (особенно в trading, IT-security).
·Backlog в operations.
·Failed audit findings.
·Идентифицируют ключевые риски.
·Оценивают inherent risk (без контролей).
·Описывают существующие контроли.
·Оценивают residual risk (с контролями).
·Gap analysis → план действий.
·Société Générale 2008. Жером Кервьель открыл несанкционированные позиции на €50 млрд (notional). Потеря €4.9 млрд при unwinding. Урок: контроли trading limits, IT-security, four-eyes principle.
·JPMorgan «London Whale» 2012. Бруно Иксил, синтетические кредитные позиции. Потери $6.2 млрд. Урок: model risk, supervision.
·Wells Fargo fake accounts 2016-2018. 3.5 млн фальшивых аккаунтов клиентов под давлением sales targets. Штрафы $3+ млрд, увольнение CEO. Урок: incentive misalignment.
·Knight Capital 2012. Ошибка deployment алгоритма HFT. Потеря $440M за 45 минут. Банкротство. Урок: deployment процессы, kill switches.
·Credit Suisse Archegos 2021. $5.5 млрд потерь от family office Bill Hwang. Урок: counterparty risk, transparency требований margin.

Операционный риск — риск убытков вследствие недостаточных или неудовлетворительных внутренних процессов, людей, систем или внешних событий. Это не «модный» риск (как кредитный или рыночный), но один из самых разрушительных: Société Générale потеряла €4.9 млрд из-за rogue trader Жерома Кервьеля (2...

Типология Basel — 7 категорий событий: 1. Внутреннее мошенничество. Несанкционированные сделки, кража, преднамеренное искажение отчётности. 2. Внешнее мошенничество. Кража, взлом, фишинг, киберпреступления извне. 3. Практика найма и безопасность работников. Дискриминация, harassment, нарушения тр...

8 бизнес-линий (Basel): 1. Корпоративные финансы. 2. Trading & Sales. 3. Розничный банкинг. 4. Коммерческий банкинг. 5. Платежи и расчёты. 6. Агентские услуги. 7. Управление активами. 8. Розничная брокерская деятельность.

Матрица 7×8 = 56 ячеек, для каждой — отдельная модель убытков. Регулятор требует данные за ≥ 10 лет из OpRisk базы.