Теория дожития и демографические таблицы

Страховщик жизни заключает контракт на 30, 50, 70 лет вперёд: расчёт премии и резервов требует количественной модели смертности. Актуарная математика жизни строится на анализе случайной величины «время жизни» T_x — остаточной продолжительности жизни человека возраста x. Таблицы смертности — главный статистический инструмент: они компилируют данные о смертности по возрастам и полу и используются для расчёта премий, резервов, пенсионных обязательств. Без них невозможно ни классическое страхование жизни, ни пенсионная система.

Функции дожития

Пусть X — случайный возраст смерти новорождённого (возраст 0). Определяем:

Функция дожития: S(x) = P(X > x) — вероятность дожить до возраста x. S(0) = 1, S(∞) = 0, S убывает.

Связанные функции:

• F(x) = P(X ≤ x) = 1 − S(x) — функция распределения.
• f(x) = F'(x) = −S'(x) — плотность.
• Интенсивность смертности (force of mortality): μ(x) = f(x)/S(x) = −d ln S(x)/dx.

Расшифровка μ(x): мгновенная вероятность смерти на единицу времени при условии дожития до x. Аналог hazard rate в анализе выживаемости.

Восстановление S по μ: S(x) = exp(−∫_0^x μ(s) ds).

Условные вероятности (актуарные обозначения):

• _t·p_x = P(X > x + t | X > x) = S(x+t)/S(x) — вероятность дожить из x ещё t лет.
• _t·q_x = 1 − _t·p_x — вероятность смерти в (x, x+t].
• p_x = _1·p_x, q_x = _1·q_x — годовая вероятность дожить/умереть.

Ожидаемая остаточная жизнь: ė_x = ∫_0^∞ _t·p_x dt = ∫_0^∞ S(x+t)/S(x) dt.

Параметрические модели

1. Экспоненциальное (постоянная смертность): μ(x) = λ. S(x) = e^{−λ·x}, ė_x = 1/λ. Слишком упрощённо: в реальности смертность зависит от возраста.

2. Гомпертц (1825): μ(x) = B·c^x, c > 1 — экспоненциальный рост. Хорошо аппроксимирует взрослую смертность (30–80 лет). Для типичных людей: c ≈ 1.085, т.е. смертность удваивается каждые 8–9 лет.

3. Гомпертц-Мейкхам (1860): μ(x) = A + B·c^x. Постоянная A — несчастные случаи, независимые от возраста. Стандарт для актуарных таблиц XX века.

4. Модель Ли-Картера (1992): ln μ(x, t) = α(x) + β(x)·κ(t). α — средний логарифм смертности по возрасту, β — чувствительность к временному тренду, κ — общий тренд снижения смертности. Стандарт для прогнозов смертности на 30–50 лет.

5. Cairns-Blake-Dowd (CBD, 2006): logit q(x, t) = κ_1(t) + (x − x̄)·κ_2(t). Два временных тренда: уровень и наклон возрастного профиля.

Таблицы смертности

Структура. Для каждого возраста x = 0, 1, ..., 110:

• l_x — число доживающих до x из l_0 = 100 000 (или 1 000 000) условной когорты.
• d_x = l_x − l_{x+1} — число умирающих в год x.
• q_x = d_x / l_x — годовая вероятность смерти.
• p_x = 1 − q_x.
• ė_x = (l_{x+1} + l_{x+2} + ... + l_{110})/l_x + 0.5 (поправка на середину года) — ожидаемая остаточная жизнь.

Источники данных: Перепись + регистр смертей (Росстат, US Social Security Administration, Office for National Statistics UK). Human Mortality Database (HMD) собирает данные 40+ стран.

Численный пример

Россия 2019 (мужчины), упрощённо: q_45 = 0.0085, q_55 = 0.0175, q_65 = 0.0345, q_70 = 0.0510, q_80 = 0.108.

Вероятность дожить из 45 до 65 лет: 20·p_45 = ∏{k=45}^{64} p_k ≈ exp(−Σ q_k) ≈ exp(−0.305) ≈ 0.737.

То есть мужчина 45 лет имеет ~74% шанс дожить до 65 — заметно ниже, чем для женщин (~89%).

Ожидаемая остаточная жизнь в 65 лет, ė_65 ≈ 14.0 лет (мужчины), 19.5 лет (женщины). Разрыв в продолжительности жизни — один из самых высоких в мире.

Selection effect и underwriting

Свежезастрахованные лица обычно здоровее средней популяции (медицинский андеррайтинг). Используют select-ultimate tables: q_{[x]+t} — смертность в возрасте x + t для лица, застрахованного в возрасте x. После 5–15 лет «селективный эффект» исчезает, и q стремится к ultimate q_{x+t}.

Реальные применения

• Страхование жизни. Расчёт нетто-премий, резервов, дивидендов participating polices. Реальные таблицы у российских страховщиков — РФ-смертность с поправками на селекцию.
• Пенсионные фонды. Оценка обязательств по выплате пожизненных пенсий. Ошибка в e_65 на 1 год → ~5% дополнительных обязательств → миллиарды для крупных фондов (UK USS, Dutch ABP).
• Государственные пенсионные системы. Социальный фонд России, US Social Security проектируют долгосрочные дефициты на основе projected mortality.
• Медицинское страхование. Премии по возрасту, расчёт ожидаемых затрат на лечение по когортам.
• Annuities (пожизненные ренты). Pricing — обратная задача: премия за гарантированную пожизненную выплату X руб./мес. на основе e_x и ставки.

Задание. Используя таблицу смертности (например, Human Mortality Database, Россия мужчины 2019): (а) Постройте кривые μ(x) (логарифмическую) и S(x) для возрастов 0–100. (б) Подберите параметры Гомпертц-Мейкхама A, B, c методом наименьших квадратов на интервале 30–80 лет. (в) Вычислите P(дожить до 65 | 45 лет), ё_65 для мужчин и женщин. (г) Сравните данные России 2019 с Японией 2019 — какова разница в ё_65? Постройте две кривые μ(x) на одном графике.