Пожизненные ренты и страхование жизни

Страховые продукты длинного горизонта — пожизненное страхование, ренты, эндаументы — стержень классической актуарной математики. Их оценка требует не только знания смертности, но и грамотного дисконтирования будущих платежей с учётом вероятности дожития. Принцип эквивалентности (E[взносы] = E[выплаты]) даёт «справедливую» нетто-премию, лежащую в основе тарификации. Эти концепции, разработанные ещё Эдмондом Галлеем (1693) и обобщённые в XX веке, остаются актуальными — их применяет каждый страховщик жизни.

Актуарское дисконтирование

Дисконт-фактор: v = 1/(1 + i), где i — годовая процентная ставка. Современная стоимость 1 руб. через t лет: v^t = (1 + i)^{−t}.

Актуарские обозначения:

• _n·E_x = v^n · _n·p_x — современная стоимость выплаты 1 руб. через n лет при условии дожития. Объединяет дисконтирование (v^n) и вероятность (_n·p_x).

Эта величина — «строительный кирпичик» всей актуарной математики жизни.

Пожизненное страхование

Whole Life Insurance (страхование на всю жизнь). Выплата 1 руб. в момент смерти, когда бы она ни произошла. Современная стоимость в актуарном смысле:

Ā_x = E[v^{T_x}] = ∫_0^∞ v^t · μ(x + t) · _t·p_x dt.

Нижнее подчёркивание означает «непрерывная» выплата (в момент смерти, а не в конце года). Без подчёркивания: A_x = Σ_{k=0}^∞ v^{k+1} · k·p_x · q{x+k} (выплата в конце года смерти).

Term Life Insurance (срочное). Выплата 1 руб. при смерти в течение n лет, иначе 0: A^1_{x:n|} = Σ_{k=0}^{n−1} v^{k+1} · k·p_x · q{x+k}.

Pure Endowment (чистый эндаумент). Выплата 1 руб. при дожитии до x + n: _n·E_x = v^n · _n·p_x.

Endowment Insurance (комбинированный). Выплата 1 при смерти в течение n лет ИЛИ при дожитии: A_{x:n|} = A^1_{x:n|} + _n·E_x.

Рекуррентное соотношение

A_x = v·q_x + v·p_x·A_{x+1}.

Интерпретация: «современная стоимость whole life = дисконтированная выплата при смерти в первый год + дисконтированная стоимость whole life в начале следующего года при условии дожития». Это позволяет рекурсивно вычислять A_x для всех x по таблице смертности.

Пожизненные ренты (annuities)

Whole Life Annuity-due (рента в начале года). Выплата 1 руб. в начале каждого года, пока жив: ä_x = Σ_{k=0}^∞ v^k · k·p_x = 1 + v·p_x·ä{x+1} (рекурсия).

Whole Life Annuity-immediate (в конце года): a_x = Σ_{k=1}^∞ v^k · _k·p_x = ä_x − 1.

Temporary Annuity (срочная): ä_{x:n|} = Σ_{k=0}^{n−1} v^k · _k·p_x.

Deferred Annuity (отложенная): m|ä_x = ä_x − ä{x:m|} = v^m · m·p_x · ä{x+m} — рента, начинающаяся через m лет (если доживёт).

Фундаментальное тождество

A_x + d·ä_x = 1, где d = i/(1+i) = i·v.

Это означает: «стоимость whole life insurance + d × стоимость whole life annuity = 1». Иначе: рента (поток 1 руб./год пока жив) + страховка (выплата 1 при смерти) = «гарантированный 1 руб. в момент смерти + ренты до смерти», и это эквивалентно платежу 1 руб. сейчас в подходящих преобразованиях.

Net Premium (нетто-премия)

Принцип эквивалентности. Премия P такова, что современная стоимость будущих премий = современной стоимости будущих выплат:

P · ä_x = A_x → P_x = A_x / ä_x.

Это нетто-премия (без расходов и прибыли). Брутто-премия добавляет загрузку 15–40% на расходы.

Резервы: V_t = A_{x+t} − P_x · ä_{x+t} — современная стоимость будущих обязательств минус будущих премий. Растёт со временем: страховщик «откладывает» из премий первых лет на выплаты последних.

Численный пример: мужчина 40 лет, i = 5%

Используем упрощённую таблицу: q_40 = 0.0030, q_50 = 0.0070, q_60 = 0.0180, q_70 = 0.0420, q_80 = 0.110.

Шаг 1. Через рекурсию A_x = v·q_x + v·p_x·A_{x+1}, начиная с A_110 = 1, идём назад.

Численно (Python, упрощённая Гомпертц-Мейкхам аппроксимация): A_40 ≈ 0.232. Это означает: страховщик возьмёт ~232 000 руб. сейчас, чтобы выплатить 1 млн при смерти.

Шаг 2. ä_40 = (1 − A_40)/d = (1 − 0.232)/(0.05/1.05) = 0.768/0.0476 ≈ 16.13.

Шаг 3. P_40 = A_40 / ä_40 = 0.232 / 16.13 ≈ 0.01438. На 1 млн страховой суммы — премия 14 380 руб./год. Это нетто; брутто (с учётом расходов) ~17 000–22 000 руб./год.

Шаг 4. Резерв V_10 (для 40-летнего через 10 лет): A_50 ≈ 0.300, ä_50 ≈ 14.7. V_10 = 0.300 − 0.01438·14.7 ≈ 0.300 − 0.211 = 0.089. То есть 89 000 руб. на 1 млн страховки.

V_t растёт от 0 в момент заключения до 1 в момент смерти. Максимум для whole life — около выхода на пенсию.

Реальные применения

• Страхование жизни. Россия (СОГАЗ, Альфа-Страхование жизни) — премии по таблицам РФ-смертности с консервативной ставкой 3–4%. Западные (Allianz, Manulife) — 1–2% (низкие ставки).
• Аннуитеты пенсионного обеспечения. Пенсионер передаёт страховщику капитал C, получает пожизненную ренту X = C/ä_65. Для мужчины 65 лет, i = 3%: ä_65 ≈ 13.5, X ≈ C/13.5.
• Variable Annuities с гарантиями (US, JP). Триллионные обязательства, требуют динамического хеджирования (delta, vega, longevity).
• Резервы в IFRS 17. Современный учёт страховых обязательств требует тщательного актуарного расчёта V_t для каждой когорты полисов.

Задание. Для мужчины 40 лет, ставка i = 5%, используя реальную таблицу смертности (HMD Россия 2019): (а) Численно (Python, рекурсия по возрастам 40–110) вычислите Ā_40 (whole life). (б) Вычислите ä_40 через тождество ä_40 = (1 − Ā_40)/d. (в) Найдите нетто-премию P_40 на страховую сумму 1 млн руб. (г) Постройте график резерва V_t = A_{40+t} − P_40·ä_{40+t} для t = 0, 1, ..., 70. В каком возрасте резерв максимален? (д) Сравните премию для женщины 40 лет (используя женскую таблицу).