Линейная алгебра

Формулы

Уравнение x² + 1 = 0 не имеет решений в вещественных числах. Это неудобство — ведь многие задачи физики и математики приводят именно к таким уравнениям. Математики XVI века (Кардано, Бомбелли) начали «притворяться», что √(−1) существует, и обнаружили, что это работает.

Мнимая единица i определяется условием i² = −1. Комплексное число z = a + bi, где a = Re(z) — вещественная часть, b = Im(z) — мнимая часть.

Комплексное число z = a+bi изображают точкой (a, b) на плоскости (плоскость Гаусса). Модуль |z| = √(a²+b²) — расстояние от начала координат. Аргумент arg(z) = arctan(b/a) — угол с вещественной осью.

Это одна из красивейших формул математики. При φ = π: e^(iπ) = −1, или e^(iπ) + 1 = 0 — «формула Эйлера», объединяющая e, i, π, 1 и 0.

Матрица — прямоугольная таблица чисел. Запись: A = (aᵢⱼ), i = 1,...,m (строки), j = 1,...,n (столбцы). A — матрица размера m×n.

Матрицы возникли как удобный способ записи систем линейных уравнений. Сегодня они — основной объект линейной алгебры и вычислительной математики.

Матричное умножение: C = AB, где cᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ·bₖⱼ. Требует: A размера m×k, B размера k×n. Результат C размера m×n.

Умножение не коммутативно: AB ≠ BA в общем случае! Это фундаментальное отличие матриц от чисел.

Определитель — скаляр, ассоциированный с квадратной матрицей. Интуиция: det A — «объём» параллелепипеда, образованного строками (или столбцами) матрицы. При det A = 0 столбцы линейно зависимы — «параллелепипед» вырожден (плоский).

Определитель — единственная функция от строк матрицы, обладающая тремя свойствами: 1. Полилинейность по строкам 2. Кососимметричность (перестановка двух строк меняет знак) 3. det E = 1

det A = Σⱼ aᵢⱼ Aᵢⱼ, где Aᵢⱼ = (−1)^(i+j) Mᵢⱼ — алгебраическое дополнение, Mᵢⱼ — минор (определитель подматрицы без i-й строки и j-го столбца).

Для 3×3 по первой строке: det A = a₁₁(a₂₂a₃₃−a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃−a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂−a₂₂a₃₁).

Определения

Группа

— множество G с бинарной операцией ∗, удовлетворяющей:

Алгебра XIX века сделала главное открытие: разные математические объекты (числа, перестановки, симметрии многогранников, матрицы) подчиняются одним и тем же абстрактным законам. Изучая эти законы в общем виде, мы получаем результаты сразу для всех конкретных случаев.

Галуа и Коши в первой половине XIX века заложили основы теории групп, изучая симметрии уравнений.

Группа — множество G с бинарной операцией ∗, удовлетворяющей: 1. Замкнутость: a∗b ∈ G для всех a, b ∈ G 2. Ассоциативность: (a∗b)∗c = a∗(b∗c) 3. Нейтральный элемент: существует e такой, что a∗e = e∗a = a 4. Обратный элемент: для каждого a существует a⁻¹ такой, что a∗a⁻¹ = e

(ℤ/nℤ, +) = {0, 1, ..., n−1} с остатками от деления — конечная абелева группа порядка n.

Определения

Поле

— коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Формулы

Кольцо (R, +, ·): (R, +) — абелева группа, умножение ассоциативно, дистрибутивность: a(b+c) = ab+ac и (a+b)c = ac+bc.

Идеал I ⊆ R — подгруппа по сложению, замкнутая относительно умножения на элемент кольца: r·I ⊆ I и I·r ⊆ I.

Фактор-кольцо R/I: элементы — смежные классы a + I. Это кольцо с операциями (a+I) + (b+I) = (a+b)+I, (a+I)(b+I) = ab+I.

Идеал P — простой, если ab ∈ P ⟹ a ∈ P или b ∈ P. Максимальный — если P ≠ R и нет идеала строго между P и R.

Система Ax = b (m уравнений, n неизвестных) — центральная задача вычислительной и теоретической математики. Когда система совместна? Сколько решений? Как их найти?

Сводим расширенную матрицу [A|b] к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Ступенчатый вид: в каждой ненулевой строке ведущий элемент стоит правее, чем в предыдущей.

Приведённый ступенчатый вид (Гаусс–Жордан): ведущий элемент каждой строки = 1, в его столбце нули выше и ниже.

Система Ax = b совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда rank(A) = rank(A|b).

Стрелки в пространстве можно складывать и умножать на числа. Эти операции подчиняются определённым законам. Абстрагируя эти законы, получаем понятие векторного пространства.

Векторное пространство над полем F — множество V с операциями сложения (V×V→V) и умножения на скаляр (F×V→V), удовлетворяющими 8 аксиомам (ассоциативность, коммутативность сложения, нейтральный элемент, обратный, дистрибутивность и др.).

Пространство многочленов степени ≤ n: Pₙ. Dim = n+1. Базис: {1, x, x², ..., xⁿ}.

Векторы v₁, ..., vₖ линейно зависимы, если существуют не все нулевые α₁, ..., αₖ такие, что α₁v₁ + ... + αₖvₖ = 0.

Отображение f: V → W между векторными пространствами называется линейным (гомоморфизмом), если:

Линейные отображения — «структуросохраняющие» отображения векторных пространств.

Это «закон сохранения размерности»: то, что «теряется» (ker f), плюс то, что «достигается» (Im f), равно исходному.

Фиксируем базисы B в V и C в W. Матрица A линейного отображения f — матрица, столбцы которой — координаты f(b₁), ..., f(bₙ) в базисе C.

Что происходит с большинством векторов при умножении на матрицу? Они меняют и длину, и направление. Но некоторые векторы меняют только длину — оставаясь на той же прямой. Эти особые векторы фундаментальны.

Собственный вектор матрицы A — ненулевой вектор v такой, что Av = λv, где λ — собственное значение.

Физически: собственный вектор — «инвариантное направление» преобразования. Масштабирование без поворота.

Характеристический многочлен: pₐ(λ) = det(A − λE) — многочлен степени n от λ.

Не всякий оператор диагонализируем. Матрица [[1,1],[0,1]] имеет единственное собственное значение 1 кратности 2, но лишь одну собственную прямую — пространство собственных векторов одномерно. Диагонализация невозможна.

Что можно сделать в этом случае? Привести к почти диагональному — жордановой нормальной форме.

Жорданова клетка J(λ, k) — матрица k×k вида: λ на диагонали, 1 над диагональю, 0 везде остальное.

J(λ, 1) = (λ) — скаляр. J(λ, 2) = [[λ,1],[0,λ]]. J(λ, 3) = [[λ,1,0],[0,λ,1],[0,0,λ]].

Вещественная матрица может иметь комплексные собственные значения, приходящие парами: λ = α ± βi. В вещественной канонической форме вместо комплексных клеток появляются вещественные 2×2 блоки [[α,−β],[β,α]] (матрица поворота-растяжения).

Пример: матрица поворота [[cos θ, −sin θ],[sin θ, cos θ]] — два комплексно сопряжённых собственных значения e^(±iθ).

Над произвольным полем (не обязательно алгебраически замкнутым) жорданова форма может не существовать. Рациональная каноническая форма существует над любым полем.

Характеристический и минимальный многочлен C(p) оба равны p(t). Это главный строительный блок рациональной канонической формы.

Квадратичная форма — однородный многочлен степени 2: Q(x) = Σᵢⱼ aᵢⱼxᵢxⱼ = xᵀAx, где A — симметричная матрица (A = Aᵀ).

Закон инерции Сильвестра: любая квадратичная форма над ℝ приводится заменой переменных к виду x₁² + ... + xₚ² − xₚ₊₁² − ... − xₚ₊ᵢ² (p положительных, i отрицательных, остальные нули). Числа p и i не зависят от выбора замены.

Положительно определённая: Q(x) > 0 для всех x ≠ 0 ⟺ все собственные значения A > 0 ⟺ все главные миноры > 0 (критерий Сильвестра).

Матричный метод: ортогональная матрица P переводит A к диагональному виду D = PᵀAP = diag(λ₁,...,λₙ). В новом базисе Q = λ₁y₁² + ... + λₙyₙ².

Определения

Евклидово пространство

— вещественное векторное пространство V со скалярным произведением (·, ·): V×V → ℝ, удовлетворяющим:

Добавим к векторному пространству понятие длины и угла — скалярное произведение.

Евклидово пространство — вещественное векторное пространство V со скалярным произведением (·, ·): V×V → ℝ, удовлетворяющим:

Ортонормированный базис: (eᵢ, eⱼ) = δᵢⱼ (дельта Кронекера). В ортонормированном базисе: (u, v) = Σᵢ uᵢvᵢ (стандартное скалярное произведение ℝⁿ).

Геометрически: каждый новый вектор — это исходный минус его проекция на уже построенное подпространство.

Определения

Унитарное пространство

— комплексное векторное пространство с эрмитовым скалярным произведением: (u, v) = v̄ᵀu, причём (v, u) = conj(u, v).

Для линейного оператора A на евклидовом пространстве: сопряжённый оператор A* удовлетворяет (Av, w) = (v, A*w) для всех v, w.

В матричном виде (ортонормированный базис): A* = Aᵀ (транспонированная матрица).

Спектральная теорема: Симметричный оператор в конечномерном евклидовом пространстве имеет вещественные собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов (диагонализируем ортогональным преобразованием).

Доказательство: собственные значения вещественны (из (Av, v) = λ(v, v) = (v, Av) = λ̄(v,v)); собственные векторы разных значений ортогональны.

Для нормального оператора A (AA* = A*A) на конечномерном унитарном пространстве: существует ортонормированный базис из собственных векторов. Нормальные операторы включают эрмитовы, кососамосопряжённые, унитарные.

Если A = QDQ⁻¹ (Q — ортогональная/унитарная), то f(A) = Qf(D)Q⁻¹ = Q diag(f(λ₁),...,f(λₙ)) Q⁻¹.

Это элегантный способ вычислять: корни матриц (f(t) = √t), экспоненты (f(t) = eᵗ), логарифмы и другие функции.

Это minimax-характеристика собственных значений — используется в вариационных задачах и оценках спектра возмущённых операторов.

Определения

Полилинейная форма

— функция f: V₁ × ... × Vₖ → F, линейная по каждому аргументу. Тензор типа (p, q) — p контравариантных и q ковариантных индексов.

Тензор — это многомерный массив чисел, преобразующийся «правильным образом» при смене базиса. Скаляры — тензоры ранга 0, векторы — ранга 1, матрицы — ранга 2.

Полилинейная форма — функция f: V₁ × ... × Vₖ → F, линейная по каждому аргументу. Тензор типа (p, q) — p контравариантных и q ковариантных индексов.

Если V и W — векторные пространства, их тензорное произведение V ⊗ W — новое векторное пространство размерности dim V · dim W.

Тензор напряжений σᵢⱼ — сила на единицу площади в направлении j на плоскости с нормалью i. Симметричный тензор ранга 2.

Внешняя алгебра ΛV — алгебра с антикоммутативным умножением: v ∧ w = −w ∧ v, и в частности v ∧ v = 0.

Детерминант — единственная (с точностью до скаляра) n-форма на n-мерном пространстве:

Кососимметричность по строкам и полилинейность — аксиомы определителя — это просто свойства внешнего произведения.

Выбор ориентации n-мерного пространства — выбор одного из двух классов упорядоченных базисов (по знаку детерминанта матрицы перехода).

Формулы

Представление группы G — гомоморфизм ρ: G → GL(V), то есть каждому элементу группы ставится в соответствие обратимый линейный оператор на V так, что ρ(gh) = ρ(g)ρ(h).

Подпространство U ⊆ V инвариантно, если ρ(g)U ⊆ U для всех g ∈ G. Представление неприводимо, если нет нетривиальных инвариантных подпространств.

Теорема Машке: Всякое конечномерное представление конечной группы над полем характеристики 0 (или не делящей |G|) полностью приводимо: разлагается в прямую сумму неприводимых.

Доказательство: усредняем проектор на инвариантное подпространство по группе (метод усреднения). Получаем G-инвариантный проектор.

Подгруппа N называется нормальной (N ⊲ G), если gN = Ng для всех g ∈ G, то есть gNg⁻¹ = N.

Примеры: {e} и G — всегда нормальные. В абелевой группе — любая подгруппа. Центр Z(G) = {g: gx = xg ∀x} — нормальная.

Группа простая, если единственные нормальные подгруппы — {e} и G. Простые группы — «атомы» теории групп.

Знакочередующая группа Aₙ (чётные перестановки) — простая при n ≥ 5. Это ключевой факт в доказательстве нерешаемости общего уравнения степени ≥ 5 в радикалах (теорема Абеля–Руффини).

Если |G| = pᵐ·k, где p — простое и p∤k, то подгруппа порядка pᵐ называется силовской p-подгруппой.

1. Существование: В конечной группе G существует силовская p-подгруппа для каждого простого p.

2. Сопряжённость: Все силовские p-подгруппы сопряжены: если P и P' — силовские p-подгруппы, то P' = gPg⁻¹ для некоторого g.

3. Число: Число nₚ силовских p-подгрупп удовлетворяет: nₚ ≡ 1 (mod p) и nₚ | |G|/pᵐ.

Эварист Галуа в 1830 году установил глубокую связь между расширениями полей и группами. Каждому расширению K/F ставится в соответствие группа Галуа Gal(K/F) — группа автоморфизмов поля K, фиксирующих F.

ℚ(√2) = {a+b√2: a,b∈ℚ} — расширение степени 2. Минимальный многочлен √2 над ℚ: x²−2.

Для K = ℚ(ζ) (ζ = e^{2πi/p}, p — простое): Gal(K/ℚ) ≅ (ℤ/pℤ)* — циклическая группа порядка p−1.

Существует взаимно однозначное соответствие между промежуточными полями F ⊆ E ⊆ K и подгруппами H ≤ Gal(K/F): E ↔ Gal(K/E).

Векторное пространство — это модуль над полем. Если заменить поле кольцом, получим модуль — более общую структуру, где «скалярное умножение» может не иметь обратных.

Левый R-модуль M: абелева группа (M, +) с операцией r·m (r ∈ R, m ∈ M), удовлетворяющей аксиомам дистрибутивности и ассоциативности.

Примеры: ℤ-модули — просто абелевы группы; K-модули = K-векторные пространства; идеалы кольца R — R-модули.

Проективный модуль: прямое слагаемое свободного. Аналог «прямого дополнения» — алгебраически-геометрическое понятие (расслоения Стифеля–Уитни — проективные модули).

Определения

Цепной комплекс

— последовательность абелевых групп (или модулей) и гомоморфизмов: ... → Cₙ₊₁ → Cₙ → Cₙ₋₁ → ... с условием dᵢdᵢ₊₁ = 0 (d² = 0).

Цепной комплекс — последовательность абелевых групп (или модулей) и гомоморфизмов: ... → Cₙ₊₁ → Cₙ → Cₙ₋₁ → ... с условием dᵢdᵢ₊₁ = 0 (d² = 0).

Сингулярные гомологии топологического пространства X: строим цепной комплекс из сингулярных симплексов (непрерывные образы стандартных симплексов) с граничным оператором.

H₀(X) ≅ ℤ^(число компонент связности). H₁(X) — «дырки» размерности 1 (циклы). H₂(X) — «полости» и т.д.

H*(X × Y) вычисляется через H*(X) и H*(Y) по формуле Кюннета: H_n(X×Y) ≅ ⊕_{p+q=n} H_p(X) ⊗ H_q(Y) ⊕ ⊕_{p+q=n-1} Tor(H_p(X), H_q(Y)).

Кольцо R нётерово (по восхождению цепей идеалов), если любая возрастающая цепь идеалов I₁ ⊆ I₂ ⊆ ... стабилизируется.

Эммануэль Нётер в 1920-х установила, что это условие — правильное обобщение конечности для колец.

Теорема Гильберта о базисе: Если R нётерово, то R[x] нётерово. Следовательно, K[x₁,...,xₙ] нётерово — всякий идеал конечно порождён.

Spec(R) = {простые идеалы R}. Это топологическое пространство (топология Зариского): замкнутые множества V(I) = {p: I ⊆ p}.