Кольца и поля

От групп к кольцам

Целые числа ℤ имеют две операции: сложение и умножение. Обобщение — кольцо.

Кольцо (R, +, ·): (R, +) — абелева группа, умножение ассоциативно, дистрибутивность: a(b+c) = ab+ac и (a+b)c = ac+bc.

Кольцо коммутативно, если ab = ba. С единицей (unital) — если есть 1.

Примеры: ℤ, ℝ[x] (многочлены), M(n,ℝ) (квадратные матрицы), ℤ/nℤ.

Идеалы и факторкольца

Идеал I ⊆ R — подгруппа по сложению, замкнутая относительно умножения на элемент кольца: r·I ⊆ I и I·r ⊆ I.

Фактор-кольцо R/I: элементы — смежные классы a + I. Это кольцо с операциями (a+I) + (b+I) = (a+b)+I, (a+I)(b+I) = ab+I.

Теорема о гомоморфизме: Если φ: R→S — гомоморфизм колец, то R/ker φ ≅ Im φ.

В ℤ: nℤ = {0, ±n, ±2n, ...} — идеал. ℤ/nℤ — кольцо вычетов.

В ℝ[x]: (x²+1) — идеал. ℝ[x]/(x²+1) ≅ ℂ — это конструкция комплексных чисел!

Простые и максимальные идеалы

Идеал P — простой, если ab ∈ P ⟹ a ∈ P или b ∈ P. Максимальный — если P ≠ R и нет идеала строго между P и R.

В коммутативном кольце: I максимален ⟺ R/I — поле. I простой ⟺ R/I — область целостности.

Поля

Поле — коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Примеры: ℚ, ℝ, ℂ, ℤ/pℤ (p — простое), ℚ(√2) = {a+b√2: a,b∈ℚ}.

Характеристика поля: наименьшее p такое, что 1+1+...+1 (p раз) = 0. Если такого нет — char = 0 (ℚ, ℝ, ℂ). Конечные поля имеют характеристику p (простое).

Конечные поля GF(pⁿ)

Для каждого простого p и натурального n существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле GF(pⁿ) порядка pⁿ. Эти поля фундаментальны в теории кодирования и криптографии.