Линейные отображения и матрицы

Линейные отображения

Отображение f: V → W между векторными пространствами называется линейным (гомоморфизмом), если:

• f(u + v) = f(u) + f(v)
• f(αv) = αf(v)

Линейные отображения — «структуросохраняющие» отображения векторных пространств.

Ядро и образ

Ядро: ker f = {v ∈ V: f(v) = 0} — подпространство V.

Образ: Im f = {f(v): v ∈ V} — подпространство W.

Теорема о ранге и нулевости: dim V = dim(ker f) + dim(Im f).

Это «закон сохранения размерности»: то, что «теряется» (ker f), плюс то, что «достигается» (Im f), равно исходному.

Матрица линейного отображения

Фиксируем базисы B в V и C в W. Матрица A линейного отображения f — матрица, столбцы которой — координаты f(b₁), ..., f(bₙ) в базисе C.

Тогда [f(v)]_C = A · [v]_B.

Каждое линейное отображение между конечномерными пространствами задаётся матрицей (при фиксированных базисах) и наоборот.

Смена базиса

Если B и B' — два базиса V, матрица перехода S переводит координаты из B в B'. Матрица отображения в новом базисе: A' = S⁻¹AS.

Два оператора A и A' подобны, если A' = S⁻¹AS. Подобные матрицы представляют один и тот же оператор в разных базисах.

Инъекция, сюръекция, изоморфизм

f — инъекция ⟺ ker f = {0} ⟺ dim(ker f) = 0 ⟺ rank A = n.

f — сюръекция ⟺ Im f = W ⟺ dim(Im f) = dim W ⟺ rank A = dim W.

f — изоморфизм ⟺ биекция ⟺ dim V = dim W и A — невырожденная матрица.

Все n-мерные пространства над F изоморфны Fⁿ.