Канонические формы

Вещественные матрицы с комплексными собственными значениями

Вещественная матрица может иметь комплексные собственные значения, приходящие парами: λ = α ± βi. В вещественной канонической форме вместо комплексных клеток появляются вещественные 2×2 блоки [[α,−β],[β,α]] (матрица поворота-растяжения).

Пример: матрица поворота [[cos θ, −sin θ],[sin θ, cos θ]] — два комплексно сопряжённых собственных значения e^(±iθ).

Рациональная каноническая форма

Над произвольным полем (не обязательно алгебраически замкнутым) жорданова форма может не существовать. Рациональная каноническая форма существует над любым полем.

Основана на инвариантных множителях — делителях элементарных делителей.

Сопутствующая матрица

Для многочлена p(t) = tⁿ + aₙ₋₁tⁿ⁻¹ + ... + a₁t + a₀ сопутствующая матрица:

C(p) = [[0,0,...,0,−a₀],[1,0,...,0,−a₁],[0,1,...,0,−a₂],...,[0,0,...,1,−aₙ₋₁]].

Характеристический и минимальный многочлен C(p) оба равны p(t). Это главный строительный блок рациональной канонической формы.

Применение в теории управления

Жорданова форма и рациональная каноническая форма — ключевые инструменты в теории управления. Жорданова форма матрицы системы x' = Ax определяет качественное поведение: устойчивость (все Re λ < 0), нейтральность (Re λ = 0), неустойчивость (есть Re λ > 0).