Билинейные и квадратичные формы

Квадратичные формы

Квадратичная форма — однородный многочлен степени 2: Q(x) = Σᵢⱼ aᵢⱼxᵢxⱼ = xᵀAx, где A — симметричная матрица (A = Aᵀ).

Примеры: Q(x,y) = x² + 2xy + 3y² соответствует A = [[1,1],[1,3]].

Закон инерции Сильвестра: любая квадратичная форма над ℝ приводится заменой переменных к виду x₁² + ... + xₚ² − xₚ₊₁² − ... − xₚ₊ᵢ² (p положительных, i отрицательных, остальные нули). Числа p и i не зависят от выбора замены.

Классификация вещественных форм

Положительно определённая: Q(x) > 0 для всех x ≠ 0 ⟺ все собственные значения A > 0 ⟺ все главные миноры > 0 (критерий Сильвестра).

Отрицательно определённая: Q(x) < 0 ⟺ все собственные значения < 0.

Неопределённая: есть положительные и отрицательные собственные значения.

Полуопределённая: некоторые собственные значения = 0.

Приведение к каноническому виду

Метод выделения полного квадрата: последовательно исключаем перекрёстные члены.

x² + 4xy + 5y² = (x + 2y)² + y².

Матричный метод: ортогональная матрица P переводит A к диагональному виду D = PᵀAP = diag(λ₁,...,λₙ). В новом базисе Q = λ₁y₁² + ... + λₙyₙ².

Применения

Оптимизация: условие второго порядка на минимум — гессиан положительно определён.

Геометрия: форма Dₓ² + 2Exy + Fy² = 1 задаёт эллипс (если форма положительно определена), гиперболу (неопределённая) или параболу (полуопределённая).

Физика: кинетическая энергия T = (1/2)ẋᵀMẋ (M — матрица масс), потенциальная V = (1/2)xᵀKx (K — матрица жёсткости) — квадратичные формы. Нормальные моды — собственные векторы системы.