Спектральная теорема и её применения

Общая спектральная теорема

Для нормального оператора A (AA* = A*A) на конечномерном унитарном пространстве: существует ортонормированный базис из собственных векторов. Нормальные операторы включают эрмитовы, кососамосопряжённые, унитарные.

Это единый «рамочный» результат для важнейших классов операторов.

Функции от операторов

Если A = QDQ⁻¹ (Q — ортогональная/унитарная), то f(A) = Qf(D)Q⁻¹ = Q diag(f(λ₁),...,f(λₙ)) Q⁻¹.

Это элегантный способ вычислять: корни матриц (f(t) = √t), экспоненты (f(t) = eᵗ), логарифмы и другие функции.

Квадратный корень матрицы: если A ≥ 0 (все λᵢ ≥ 0), то √A = Q diag(√λ₁,...) Qᵀ.

Принцип Куранта–Фишера

Для симметричной матрицы A с собственными значениями λ₁ ≤ λ₂ ≤ ... ≤ λₙ:

λ_k = min_{dim U = k} max_{v ∈ U, ‖v‖=1} (Av, v).

Это minimax-характеристика собственных значений — используется в вариационных задачах и оценках спектра возмущённых операторов.

Приложения SVD

Рекомендательные системы: матрица «пользователи × фильмы» → SVD → латентные факторы (жанры, стили).

Сжатие изображений: изображение = матрица пикселей → SVD → хранить первые k рангов. При k=50 из 1000 качество часто > 95% при размере файла < 10%.

Анализ текстов (LSA): матрица «документы × термины» → SVD → латентные семантические оси.

Псевдообратная матрица: A⁺ = VΣ⁺Uᵀ (σᵢ⁺ = 1/σᵢ при σᵢ ≠ 0). Решает МНК: x = A⁺b.