Самосопряжённые и унитарные операторы

Сопряжённый оператор

Для линейного оператора A на евклидовом пространстве: сопряжённый оператор A* удовлетворяет (Av, w) = (v, A*w) для всех v, w.

В матричном виде (ортонормированный базис): A* = Aᵀ (транспонированная матрица).

Самосопряжённые (симметричные) операторы

A = A* ⟺ A = Aᵀ — симметричная матрица.

Спектральная теорема: Симметричный оператор в конечномерном евклидовом пространстве имеет вещественные собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов (диагонализируем ортогональным преобразованием).

Доказательство: собственные значения вещественны (из (Av, v) = λ(v, v) = (v, Av) = λ̄(v,v)); собственные векторы разных значений ортогональны.

Следствие: A = QDQᵀ (спектральное разложение), где Q — ортогональная, D = diag(λ₁,...,λₙ).

A положительно определена ⟺ все λᵢ > 0 ⟺ A = BBᵀ для некоторой B (разложение Холецкого).

Унитарные пространства и операторы

Унитарное пространство — комплексное векторное пространство с эрмитовым скалярным произведением: (u, v) = v̄ᵀu, причём (v, u) = conj(u, v).

Сопряжённый оператор (эрмитово сопряжённый): A* = Āᵀ (эрмитово сопряжение, транспонирование + комплексное сопряжение).

Эрмитов оператор: A = A* (обобщение симметричного). Собственные значения — вещественные. В квантовой механике наблюдаемые величины — эрмитовы операторы; их собственные значения — результаты измерений.

Унитарный оператор: UU* = U*U = I (обобщение ортогонального). Сохраняет норму и скалярное произведение. Собственные значения — на единичной окружности.

Сингулярное разложение (SVD)

Любая матрица A размера m×n: A = UΣVᵀ, где U (m×m) и V (n×n) — ортогональные, Σ — диагональная с σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ 0 (сингулярные числа).

SVD — универсальное разложение: ранг = число ненулевых σ; МНК-решение через псевдообратную; сжатие изображений (берём первые k сингулярных чисел); PCA.