Тензорное произведение и тензоры

Что такое тензор

Тензор — это многомерный массив чисел, преобразующийся «правильным образом» при смене базиса. Скаляры — тензоры ранга 0, векторы — ранга 1, матрицы — ранга 2.

Полилинейная форма — функция f: V₁ × ... × Vₖ → F, линейная по каждому аргументу. Тензор типа (p, q) — p контравариантных и q ковариантных индексов.

Тензорное произведение

Если V и W — векторные пространства, их тензорное произведение V ⊗ W — новое векторное пространство размерности dim V · dim W.

Элементы: v ⊗ w (простые тензоры) и их линейные комбинации.

Если {eᵢ} — базис V и {fⱼ} — базис W, то {eᵢ ⊗ fⱼ} — базис V ⊗ W.

Тензорное произведение операторов: (A ⊗ B)(v ⊗ w) = Av ⊗ Bw.

Тензоры в физике

Тензор напряжений σᵢⱼ — сила на единицу площади в направлении j на плоскости с нормалью i. Симметричный тензор ранга 2.

Метрический тензор gᵢⱼ в римановой геометрии задаёт расстояния и углы. В специальной теории относительности: g = diag(−1, 1, 1, 1) (метрика Минковского).

Тензор кривизны Римана Rⁱ_{jkl} — тензор ранга (1,3), описывает искривление пространства в общей теории относительности.

Свёртка тензоров

Свёртка по паре индексов — обобщение следа матрицы. Тензор Tⁱ_ⱼ свёртывается в скаляр T = Tⁱᵢ = Σᵢ Tⁱᵢ.

Умножение матриц Cᵢₖ = Σⱼ AᵢⱼBⱼₖ — свёртка по j. В нотации Эйнштейна (соглашение о суммировании): Cᵢₖ = AᵢⱼBʲₖ.

Симметрические и кососимметрические тензоры

Тензор T симметричен по паре индексов i,j, если Tᵢⱼ... = Tⱼᵢ.... Кососимметричен (антисимметричен), если Tᵢⱼ... = −Tⱼᵢ....

Внешние формы (дифференциальные формы) — кососимметрические тензоры. Внешнее произведение dx∧dy = dx⊗dy − dy⊗dx.