Внешняя алгебра и детерминант

Внешнее произведение

Внешняя алгебра ΛV — алгебра с антикоммутативным умножением: v ∧ w = −w ∧ v, и в частности v ∧ v = 0.

Λᵏ(V) — пространство k-форм размерности C(n, k).

Базис Λ²(ℝⁿ): {eᵢ ∧ eⱼ: i < j}. Базис Λⁿ(ℝⁿ): одномерный.

Детерминант — единственная (с точностью до скаляра) n-форма на n-мерном пространстве:

det A = e₁∧...∧eₙ(Ae₁,...,Aeₙ) / (e₁∧...∧eₙ)(e₁,...,eₙ).

Кососимметричность по строкам и полилинейность — аксиомы определителя — это просто свойства внешнего произведения.

Выбор ориентации n-мерного пространства — выбор одного из двух классов упорядоченных базисов (по знаку детерминанта матрицы перехода).

Замена переменных в интеграле: |det J| — это «растяжение объёма», а sign det J — сохранение или смена ориентации.

k-мерный объём параллелотопа, натянутого на v₁,...,vₖ в ℝⁿ: √det(GᵀG), где G = [v₁|...|vₖ] (матрица Грама).

Это обобщение: при k=1 это норма вектора, при k=2 — площадь параллелограмма, при k=n — абсолютное значение детерминанта.